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In questa pagina parliamo di continuità, derivabilità e differenziabilità in $\mathbb{R}^2$. Le definizioni possono essere estese ad $\mathbb{R}^n$ senza difficoltà.
Continuità di una funzione in due variabili
Una funzione è continua nel punto $\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)$ se
$\underset{\left( x,y \right)\to \left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)}{\mathop{\lim }}\,f\left( x,y \right)=f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)$
Derivate direzionali
Sia $\mathbf{\hat{v}}=\left( {{v}_{x}},{{v}_{y}} \right)$ un generico versore, si definisce derivata della funzione ${{D}_{\mathbf{v}}}\left( f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right) \right)$ nella direzione definita dal versore $\mathbf{\hat{v}}$:
$\frac{\partial }{\partial v}f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( {{x}_{0}}+t{{v}_{x}},{{y}_{0}}+t{{v}_{y}} \right)-f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)}{t}$
Nota bene che $\mathbf{\hat{v}}$ deve essere un versore altrimenti la formula per il calcolo della derivata direzionale non vale! Versore significa che il suo modulo è uguale ad uno: $||\mathbf{\hat{v}}||=1$ e cioè posto $\sqrt{{v_x}^{2}+{v_y}^{2}}=1$
Derivabilità di una funzione di due variabili
Una funzione è derivabile se ammette le derivate parziali. Le derivate parziali sono definite come le derivate lungo le direzioni canoniche, ovvero parallelamente agli assi cartesiani, che nel caso di funzione di due variabili sono definite dai versori $\mathbf{e_1}=(1,0)$ e $\mathbf{e_2}=(0,1)$.
$f(x,y)$ é quindi derivabile in $\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)$ se esistono e sono finite le due derivate parziali.
$\frac{\partial }{\partial x}f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( {{x}_{0}}+t,{{y}_{0}} \right)-f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)}{t}$
$\frac{\partial }{\partial y}f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}}+t \right)-f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)}{t}$
Definite le derivate parziali è possibile definire il vettore gradiente di una funzione come il vettore i cui elementi sono le derivate parziali.
In due dimensioni, il vettore gradiente di una funzione scalare $ f(x, y) $ è un vettore che contiene le derivate parziali della funzione rispetto alle sue variabili indipendenti $ x $ e $ y $.
Il vettore gradiente è quindi definito come:
$ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) $
dove $ \frac{\partial f}{\partial x} $ e $ \frac{\partial f}{\partial y} $ sono rispettivamente le derivate parziali di $ f $ rispetto alle variabili $ x $ e $ y $.
In altre parole, il vettore gradiente in due dimensioni indica la direzione e l’intensità massima di variazione della funzione $ f(x, y) $.
Se disegnato su un grafico, il vettore gradiente punta nella direzione della massima crescita della funzione e la sua lunghezza rappresenta la pendenza della funzione in quella direzione.
Il gradiente nel punto di coordinate $(x_0,y_0)$ è dato da
$ \nabla f(x_0,y_0) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0), \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) \right) $
La derivabilità non implica la continuità!!
A differenza delle funzioni a una variabile reale (oggetto di studio di analisi matematica 1) $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ in cui la derivabilità implica la continuità, per funzioni in più variabili questo non è vero.
Per convincersene prendiamo un esempio in cui ciò non accade:
$ f(x, y) = \begin{cases} \frac{x}{x + y} & \text{se } (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & \text{se } (x, y) = (0, 0) \end{cases} $.
Per la funzione $f(x,y)$ si ha che:
$\frac{{\partial f}}{{\partial x}}(0,0)=0$
$\frac{{\partial f}}{{\partial y}}(0,0)=0$
$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y) \, \nexists$ e questo implica che la funzione non è continua, altrimenti il limite doveva valere $f(0,0)=0$
Differenziabilità di una funzione di due variabili
In $\mathbb{R}^2$ perché una funzione in due variabili $ f(x, y) $ sia differenziabile nel punto $ (x_0, y_0) $, deve essere verificata la seguente condizione:
Questa espressione può essere riscritta meglio, in maniera più compatta usando la notazione del gradiente:
Si noti che al denominatore abbiamo usato la norma del vettore incremento $(h,k)$, e questo perché $ ||(h, k)|| = \sqrt{h^2 + k^2} $
In questo limite, il numeratore rappresenta la differenza tra il valore della funzione in un punto vicino $ (x_0, y_0) $ e il suo valore in $ (x_0, y_0) $ approssimato con il piano tangente (ovvero il piano definito dalla derivata parziale della funzione rispetto a $ x $ e $ y $). Il denominatore rappresenta la distanza tra il punto $ (x_0, y_0) $ e il punto $ (x_0+h, y_0+k) $ nel piano $ xy $.
Quindi, per la funzione essere differenziabile in $ (x_0, y_0) $, questa approssimazione lineare deve avvicinarsi correttamente al valore reale della funzione quando $ (h, k) $ tende a zero.
Possiamo riscrivere ulteriormente la condizione di differenziabilità di una funzione con l’utilizzo dell’o-piccolo (uno dei simboli di Landau), infatti poiché il rapporto tra numeratore e denominatore tende a zero, allora il numeratore è un o-piccolo del numeratore.
$ f(x_0 + h, y_0 + k) – f(x_0, y_0) – \nabla f(x_0, y_0) \cdot (h, k) = o \left( ||(h, k)|| \right) $
A questo punto se porto dall’altro membro dell’equazione alcuni elementi, ottengo:
$ f(x_0 + h, y_0 + k) = f(x_0, y_0) + \nabla f(x_0, y_0) \cdot (h, k) + o \left( ||(h, k)|| \right) $
Questa che vediamo al secondo membro dell’equazione corrisponde con l’approssimazione di Taylor del primo ordine della funzione $f$ nel punto $ (x_0+h, y_0+k)$ con $(h,k) \to (0,0)$.
Possiamo quindi concludere che una funzione è differenziabile in punto se e solo se vale l’approssimazione di Taylor del primo ordine. Nel caso di funzioni di una variabile differenziabilità e derivabilità sono la stessa cosa. Per funzioni di più variabili invece c’è una differenza profonda tra differenziabilità e derivabilità.
Per comprendere meglio invece il concetto dell’approssimazione con il piano tangente, possiamo ricordare che in un punto $(x_0,y_0)$ dello spazio il piano tangente è espresso dall’equazione:
$ z = f(x_0, y_0) + \frac{{\partial f}}{{\partial x}}(x_0, y_0)(x – x_0) + \frac{{\partial f}}{{\partial y}}(x_0, y_0)(y – y_0) $
e se poniamo $x=x_0+h$ e $y=y_0+k$, l’equazione diventa:
$ z = f(x_0, y_0) + \frac{{\partial f}}{{\partial x}}(x_0, y_0) \cdot h + \frac{{\partial f}}{{\partial y}}(x_0, y_0) \cdot k $
Usando di nuovo la notazione del gradiente si ha che l’equazione del piano tangente è data dalla seguente espressione:
$ z = f(x_0, y_0) + \nabla f(x_0,y_0) \cdot (h,k) $
Ora ponendo $z=f(x_0+h,y_0+k)$ e trascurando l’o-piccolo, allora la differenziabilità ci dice che la funzione può essere approssimata in un punto $(x_0+h,y_0+k)$ vicino al punto $(x_0,y_0)$ con il piano tangente alla funzione nel punto $(x_0,y_0)$:
$ f(x_0+h,y_0+k) \sim ( f(x_0, y_0) + \nabla f(x_0,y_0) \cdot (h,k) $
Teorema del Differenziale Totale
Sia $f:A\subseteq {{\mathbb{R}}^{2}}\to \mathbb{R}$ una funzione derivabile nell’aperto $A$ , cioè esistono le derivate parziali ${{{f}’}_{x}}\left( x,y \right)$ ,${{{f}’}_{y}}\left( x,y \right)$ $\forall \left( x,y \right)\in A$ . Se le derivate parziali sono continue in ${{P}_{0}}=\left( {{x}_{0}},y_{0}^{{}} \right)$ allora la funzione è differenziabile in ${{P}_{0}}$.
Questo teorema, noto come teorema del differenziale totale, se verificate le ipotesi permette di verificare che la funzione è differenziabile.
Nota bene che questo teorema è una condizione sufficiente ma non necessaria per la differenziabilità di una funzione in più variabili!
Viceversa se le derivate parziali non sono continue allora non si può concludere nulla sulla differenziabilità.
Teorema sulla continuità delle funzioni differenziabili (condizione sufficiente ma non necessaria)
In due o più variabili, se una funzione è differenziabile in un punto allora è anche continua.
Per dimostrare che una funzione è continua in un punto se è differenziabile, possiamo utilizzare il concetto di approssimazione lineare fornito dalla differenziabilità.
Supponiamo di avere una funzione $ f(x, y) $ che è differenziabile in un punto $ (x_0, y_0) $. Questo significa che possiamo approssimare $ f(x, y) $ con una funzione lineare vicino al punto $ (x_0, y_0) $. Formalmente, questa approssimazione lineare è data dalla seguente espressione:
$ f(x, y) \approx f(x_0, y_0) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)(x – x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)(y – y_0) $
Dove $ \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) $ e $ \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) $ sono le derivate parziali di $ f $ rispetto a $ x $ e $ y $ valutate nel punto $ (x_0, y_0) $.
Ora, consideriamo il limite della funzione approssimante quando $ (x, y) $ si avvicina a $ (x_0, y_0) $:
$ \lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)}( f(x_0, y_0) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)(x – x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)(y – y_0) ) $
Per definizione di limite, questa espressione si avvicina a $ f(x_0, y_0) $ quando $ (x, y) $ si avvicina a $ (x_0, y_0) $. Quindi, la funzione è continua in $ (x_0, y_0) $.
Alcune implicazioni importanti
Ora però facciamo un riepilogo generale su tutte le implicazioni possibili:
Se una funzione è continua non si può dire nulla sulla derivabilità e differenziabilità.
Se una funzione è derivabile non implica che la funzione è necessariamente continua.
Se una funzione è differenziabile allora ammette tutte le derivate direzionali e inoltre è possibile calcolare le derivate direzionali senza usare il limite ma usando questa formula:
${{D}_{\mathbf{v}}}\left( f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right) \right)=\nabla f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\,\centerdot \,\mathbf{\hat{v}}$
Dove $\mathbf{\hat{v}}$ è il versore che definisce la direzione.
Se una funzione è differenziabile allora sicuramente è anche continua.
Se una funzione è differenziabile allora è anche derivabile.
Se una funzione ammette le derivate parziali ed esse sono continue allora la funzione è differenziabile.
Non necessariamente una funzione differenziabile ammette derivate parziali continue.
La differenziabilità è una condizione molto importante perché è una condizione richiesta per la validità di molti teoremi!