esercizi su curve e integrali curvilinei

Esercizio 1 – Retta tangente ad una curva

Scrivere l’equazione della retta tangente alla curva

\(\gamma :\left( 0,+\infty \right)\to {{\mathbb{R}}^{2}}\,,\,\,\,\,\gamma \left( t \right)=\left( {{e}^{{{t}^{2}}}},\log t \right)\) nel punto \(\gamma \left( 1 \right)\) .

Per trovare l’equazione della retta tangente alla curva $ \gamma $ nel punto $ \gamma(1) $, ho seguito passaggi molto specifici e calcoli dettagliati che mi hanno portato al risultato finale. Ecco una descrizione dettagliata del mio processo di pensiero e dei calcoli effettuati.

La Curva e le sue Derivate

La curva che mi è stata data, $ \gamma: (0, +\infty) \to \mathbb{R}^2 $, è definita come $ \gamma(t) = (e^{t^2}, \log t) $. Questa mappa ogni numero reale positivo $ t $ in un punto nello spazio bidimensionale $ \mathbb{R}^2 $, dove la prima componente del punto è $ e^{t^2} $ e la seconda componente è $ \log t $.

Per individuare la retta tangente in un punto specifico della curva, ho calcolato le derivate delle componenti di $ \gamma $ rispetto a $ t $, che sono:

– $ \gamma_x'(t) = 2te^{t^2} $ per la derivata della prima componente,

– $ \gamma_y'(t) = \frac{1}{t} $ per la derivata della seconda componente.

La Valutazione per t = 1

Successivamente, ho valutato queste derivate per $ t = 1 $ per trovare le componenti della pendenza della retta tangente nel punto $ \gamma(1) $:

– $ \gamma_x'(1) = 2e $,

– $ \gamma_y'(1) = 1 $.

Ho determinato che il punto $ \gamma(1) $ sulla curva è $ (e, 0) $, valutando la funzione originale per $ t = 1 $.

L’Equazione della Retta Tangente

Per formulare l’equazione della retta tangente in termini di $ x $ e $ y $, ho utilizzato la forma punto-pendenza. Le derivate valutate per $ t = 1 $ mi hanno fornito il cambio di $ y $ rispetto al cambio di $ x $ (cioè, la pendenza della retta tangente), permettendomi di stabilire l’equazione come segue:

$ (x – x(1))\gamma_y'(1) = (y – y(1))\gamma_x'(1) $

Inserendo i valori noti:

$ (x – e) \cdot 1 = (y – 0) \cdot 2e $

Da cui ho semplificato per ottenere:

$ x – e = 2ey $

Riarrangiando i termini per ottenere la forma standard dell’equazione di una retta, ho trovato:

$ x – 2ey – e = 0 $

Conclusione

Dunque, l’equazione della retta tangente alla curva $ \gamma $ nel punto $ \gamma(1) $ che ho calcolato è $ x – 2ey – e = 0 $. Questa equazione descrive una linea nel piano $ \mathbb{R}^2 $ che tocca la curva $ \gamma $ esattamente in un punto, $ (e, 0) $, e ha una pendenza che corrisponde alla pendenza della curva in quel punto.

Esercizio 2 – Retta tangente ad una curva data in forma implicita

Scrivere l’equazione della curva \(4{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4\) in forma parametrica e determinare l’equazione della retta tangente nel punto \(\left( -1,0 \right)\) .

Per scrivere l’equazione dell’ellisse $4x^2 + y^2 = 4$ in forma parametrica e determinare l’equazione della retta tangente nel punto $(-1,0)$, ho seguito un approccio basato sulla parametrizzazione in coordinate ellittiche.

Passaggio alla Forma Parametrica

L’equazione dell’ellisse può essere riscritta come $x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$ per facilitarne l’interpretazione in termini di parametri. Questa forma mi suggerisce che posso esprimere l’ellisse in coordinate ellittiche, dove $x$ e $y$ dipendono da un parametro $t$.

Ho quindi posto $x = \cos t$ e $y = 2\sin t$, ottenendo una rappresentazione parametrica della curva come $\gamma = (\cos t, 2\sin t)$, valida per $t$ nell’intervallo $[0,2\pi]$.

Determinazione del Punto sulla Curva

Il punto specifico $(-1,0)$ sulla curva corrisponde a un valore di $t$ tale che $x(\pi) = \cos(\pi) = -1$ e $y(\pi) = 2\sin(\pi) = 0$, il che mi indica che questo punto si verifica per $t = \pi$.

Calcolo delle Derivate

Per trovare la retta tangente, ho prima calcolato le derivate delle componenti della curva rispetto a $t$, ottenendo $\gamma_x’ = -\sin t$ e $\gamma_y’ = 2\cos t$.

Valutando queste derivate in $t = \pi$, ho trovato che $\gamma_x'(\pi) = 0$ e $\gamma_y'(\pi) = -2$, il che significa che nel punto $(-1,0)$ la pendenza della tangente alla curva è orizzontale, poiché la derivata in $x$ è zero.

Equazione della Retta Tangente

Con queste informazioni, ho stabilito l’equazione della retta tangente nel punto $(-1,0)$ come segue:

$-2(x + 1) = 0(y – 0) \Rightarrow x + 1 = 0$

Questa equazione rappresenta una linea verticale che passa per $x = -1$, coerente con la pendenza calcolata e il punto dato.

Conclusione

In conclusione, ho riscritto l’equazione dell’ellisse $4x^2 + y^2 = 4$ in forma parametrica come $\gamma = (\cos t, 2\sin t)$, e ho determinato che l’equazione della retta tangente nel punto $(-1,0)$ è $x + 1 = 0$. Questo processo illustra come la parametrizzazione e la differenziazione possano essere utilizzate per esplorare le proprietà geometriche delle curve.

Esercizio 3 – Calcolo della lunghezza di un arco di curva data come y=f(x)

Calcolare la lunghezza dei seguente arco di curva:

\(y={{e}^{x}}\) con x compreso tra 0 e 1

Per calcolare la lunghezza dell’arco della curva $y = e^x$ nell’intervallo da $x = 0$ a $x = 1$, ho seguito un approccio matematico basato sull’integrazione. Ecco come ho proceduto:

Passo 1: Derivata della Funzione

La prima cosa che ho fatto è stata calcolare la derivata di $y = e^x$ rispetto a $x$, che è $y’ = e^x$. Questo perché la formula per la lunghezza dell’arco richiede la derivata della funzione.

Passo 2: Sostituzione nella Formula della Lunghezza dell’Arco

Dopo aver trovato la derivata, l’ho sostituita nella formula per la lunghezza dell’arco:

$L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + (y’)^2} \, dx$

Nel caso specifico di $y = e^x$, sostituendo $y’ = e^x$, l’espressione sotto la radice diventa $1 + e^{2x}$. Quindi, l’integrale da risolvere per trovare la lunghezza dell’arco è:

$L = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + e^{2x}} \, dx$

Passo 3: Risoluzione dell’Integrale

Risolvendo l’integrale, ho ottenuto:

$L = \sqrt{1 + e^2} – \sqrt{2} + \frac{1}{2} \log\left(\frac{\sqrt{1 + e^2} – 1}{\sqrt{1 + e^2} + 1}\right) – \frac{1}{2} \log\left(\frac{\sqrt{2} – 1}{\sqrt{2} + 1}\right)$

Questo risultato rappresenta la lunghezza esatta dell’arco della curva $y = e^x$ nell’intervallo dato. Il calcolo dell’integrale rivela l’importanza di combinare le tecniche di integrazione con la conoscenza delle funzioni esponenziali per trattare problemi geometrici e analitici relativi alle curve.

Esercizio 4 – Calcolo della lunghezza di un arco di curva data in forma parametrica

Calcolare la lunghezza dei seguente arco di curva:

\(\gamma \left( t \right)=\left( {{e}^{t}}-4t,8{{e}^{\frac{t}{2}}}+3 \right),\,\,\,t\in \left[ 0,\log 3 \right]\)

Per la curva $ \gamma(t) = (e^t – 4t, 8e^{t/2} + 3) $ nell’intervallo $ t \in [0, \log 3] $, il calcolo della lunghezza dell’arco si basa sulla derivata rispetto a $ t $ delle componenti della curva:

– La derivata di $ x(t) = e^t – 4t $ rispetto a $ t $ è $ x'(t) = e^t – 4 $.

– La derivata di $ y(t) = 8e^{t/2} + 3 $ rispetto a $ t $ è $ y'(t) = 4e^{t/2} $.

Sostituendo queste derivate nella formula per la lunghezza dell’arco, si ottiene:

$L = \int_{0}^{\log 3} \sqrt{(e^t – 4)^2 + (4e^{t/2})^2} \, dt$

Questo integral si semplifica in:

$L = \int_{0}^{\log 3} (e^t + 4) \, dt = [e^t + 4t]_{0}^{\log 3} = 2 + 4\log 3$

Questo risultato rappresenta la lunghezza dell’arco della curva $ \gamma(t) $ nell’intervallo dato.

Esercizio 5 – Calcolo della lunghezza di una curva data in forma polare

Calcolare la lunghezza dei seguente arco di curva:

\(\rho \left( \theta \right)={{\left( \theta +\pi \right)}^{2}}\,,\,\,\,\,\,\theta \in \left[ -\pi ,\pi \right]\)

In questo caso la curva è data in forma polare. Quindi usando \(x=\rho \,\cos \theta ,\,\,y=\rho \,\sin \theta \) , si ha \(\gamma =\left( {{\left( \theta +\pi \right)}^{2}}\,\cos \theta ,{{\left( \theta +\pi \right)}^{2}}\,\sin \theta \right)\)

Per la curva $ \rho(\theta) = (\theta + \pi)^2 $ in forma polare, con $ \theta \in [-\pi, \pi] $, ho trasformato la curva in coordinate cartesiane usando $ x = \rho \cos \theta $ e $ y = \rho \sin \theta $, ottenendo:

$\gamma = \left( (\theta + \pi)^2 \cos \theta, (\theta + \pi)^2 \sin \theta \right)$

Per calcolare la lunghezza della curva, ho utilizzato la formula per la lunghezza di un arco in coordinate polari, che considera sia $ \rho(\theta) $ sia la sua derivata $ \rho'(\theta) $. La derivata di $ \rho(\theta) = (\theta + \pi)^2 $ è $ 2(\theta + \pi) $.

Sostituendo $ \rho(\theta) $ e $ \rho'(\theta) $ nella formula della lunghezza dell’arco e eseguendo il cambio di variabile $ \theta + \pi = t $, ottengo l’integrale:

$\int_{0}^{2\pi} t \sqrt{t^2 + 4} \, dt = \left[ \frac{(t^2 + 4)^{\frac{3}{2}}}{3} \right]_{0}^{2\pi} = \frac{1}{3} \left[ (4\pi^2 + 4)^{\frac{3}{2}} – 4^{\frac{3}{2}} \right] = \frac{8}{3} \left[ (\pi^2 + 1)^{\frac{3}{2}} – 1 \right]$

Questo risultato mostra la lunghezza dell’arco della curva in forma polare $ \rho(\theta) $ nell’intervallo dato.

Esercizio 6 – Integrale di linea di prima specie

\(f=x\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right),\,\,\,\rho \left( \theta \right)=\sin \theta \,\,\,\,\,\theta \in \left[ 0,\frac{\pi }{2} \right]\)

\(\gamma =\left( \sin \theta \,\cos \theta ,\,\,{{\sin }^{2}}\theta \right)\)

Per calcolare l’integrale curvilineo di $ f = x(x^2 + y^2) $ lungo la curva $ \gamma = (\sin \theta \cos \theta, \sin^2 \theta) $ con $ \theta $ compreso tra $ 0 $ e $ \frac{\pi}{2} $, procediamo seguendo la definizione e sostituendo le coordinate parametriche date nella funzione $ f $.

Sostituzione delle Coordinate Parametriche

La curva parametrica $ \gamma $ è espressa come funzione di $ \theta $, quindi le coordinate $ x $ e $ y $ diventano rispettivamente $ \sin \theta \cos \theta $ e $ \sin^2 \theta $. Sostituendo queste espressioni nella funzione $ f $, otteniamo:

$f(\theta) = \sin \theta \cos \theta \left( (\sin \theta \cos \theta)^2 + (\sin^2 \theta)^2 \right)$

Espandendo e semplificando utilizzando l’identità trigonometrica $ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 $, otteniamo:

$f(\theta) = \sin \theta \cos \theta \left( \sin^2 \theta \cos^2 \theta + \cos^4 \theta \right)$

Calcolo dell’Integrale

L’integrale curvilineo richiesto si trasforma quindi nel calcolo dell’integrale definito di $ f(\theta) $ rispetto a $ \theta $ nell’intervallo $[0, \frac{\pi}{2}]$:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin \theta \cos^3 \theta \left( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta \right) \, d\theta$

Poiché $ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 $, l’espressione si semplifica ulteriormente in:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin \theta \cos^3 \theta \, d\theta$

Risoluzione dell’Integrale

Questo integrale può essere risolto per sostituzione diretta o riconoscendo che è l’integrale della potenza quarta del coseno moltiplicata per il seno, che è la derivata del coseno:

$\left[ -\frac{\cos^4 \theta}{4} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

Valutando ai limiti di integrazione, otteniamo:

$-\frac{\cos^4 \left(\frac{\pi}{2}\right)}{4} + \frac{\cos^4(0)}{4} = 0 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

Conclusione

Pertanto, l’integrale curvilineo di $ f $ lungo la curva $ \gamma $ è $ \frac{1}{4} $. Questo risultato rappresenta il valore dell’integrale curvilineo dato, dimostrando l’approccio metodico per la soluzione di integrali curvilinei di funzioni parametriche complesse.

Lezioni di Analisi Matematica 2