esercizi su curve e integrali curvilinei

esercizi su curve e integrali curvilinei

Esercizio 1

Scrivere l’equazione della retta tangente alla curva

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\(\gamma :\left( 0,+\infty \right)\to {{\mathbb{R}}^{2}}\,,\,\,\,\,\gamma \left( t \right)=\left( {{e}^{{{t}^{2}}}},\log t \right)\) nel punto \(\gamma \left( 1 \right)\) .

\({{\gamma }_{x}}^{\prime }=2t{{e}^{{{t}^{2}}}}\) , \({{\gamma }_{y}}^{\prime }=\frac{1}{t}\)

\({{\gamma }_{x}}^{\prime }\left( 1 \right)=2e\), \({{\gamma }_{y}}^{\prime }\left( 1 \right)=1\)

\(x\left( 1 \right)=e\) , \(y\left( 1 \right)=0\)

\(\left( x-x\left( 1 \right) \right){{\gamma }_{y}}^{\prime }\left( 1 \right)=\left( y-y\left( 1 \right) \right){{\gamma }_{x}}^{\prime }\left( 1 \right)\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\,\left( x-e \right)=2ey\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,x-2ey-e=0\)

Esercizio 2

Scrivere l’equazione della curva \(4{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4\) in forma parametrica e determinare l’equazione della retta tangente nel punto \(\left( -1,0 \right)\) .

E’ un ellisse quindi è possibile parametrizzarla in coordinate ellittiche. Riscrivendo l’equazione \({{x}^{2}}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1\)

Posto: \(x=\cos t,\,\,\,y=2\sin t\), la curva diventa \(\gamma =\left( \cos t,\,\,2\sin t \right)\) con \(t\in \left[ 0,2\pi \right]\) .

Il punto \(\left( -1,0 \right)\)si ha in corrispondenza di \(t=\pi \) . Quindi

\({{\gamma }_{x}}^{\prime }=-\sin t\) , \({{\gamma }_{y}}^{\prime }=2\cos t\)

\({{\gamma }_{x}}^{\prime }\left( 1 \right)=0\), \({{\gamma }_{y}}^{\prime }\left( \pi \right)=-2\)

\(x\left( \pi \right)=-1\) , \(y\left( \pi \right)=0\)

\(-2\left( x+1 \right)=\,0\left( y-0 \right)\,\,\Rightarrow \,\,\,\,x+1=0\)

Esercizio 3

Calcolare la lunghezza dei seguente arco di curva:

\(y={{e}^{x}}\)

\(L=\int\limits_{a}^{b}{\sqrt{1+{{\left| {f}’\left( x \right) \right|}^{2}}}}dx=\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{1+{{e}^{2x}}}dx}=\sqrt{1+{{e}^{2}}}-\sqrt{2}+\frac{1}{2}\log \left( \frac{\sqrt{1+{{e}^{2}}}-1}{\sqrt{1+{{e}^{2}}}+1} \right)-\frac{1}{2}\log \left( \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} \right)\)

Calcolare la lunghezza dei seguente arco di curva:

\(\gamma \left( t \right)=\left( {{e}^{t}}-4t,8{{e}^{\frac{t}{2}}}+3 \right),\,\,\,t\in \left[ 0,\log 3 \right]\)

\(\begin{align}& L=\int\limits_{a}^{b}{\sqrt{{{\left| {{x}’} \right|}^{2}}+{{\left| {{y}’} \right|}^{2}}}}dt=\int\limits_{0}^{\log 3}{\sqrt{{{\left( {{e}^{t}}-4 \right)}^{2}}+{{\left( 4{{e}^{\frac{t}{2}}} \right)}^{2}}}}dt=\int\limits_{0}^{\log 3}{\sqrt{{{e}^{2t}}-8{{e}^{t}}+16+16{{e}^{t\,}}}}dt= \\& =\int\limits_{0}^{\log 3}{\sqrt{{{e}^{2t}}+8{{e}^{t}}+16}\,}dt=\int\limits_{0}^{\log 3}{\sqrt{{{\left( {{e}^{t}}+4 \right)}^{2}}}}dt=\int\limits_{0}^{\log 3}{{{e}^{t}}+4}\,\,dt=2+4\log 3 \\\end{align}\)

Calcolare la lunghezza dei seguente arco di curva:

\(\rho \left( \theta \right)={{\left( \theta +\pi \right)}^{2}}\,,\,\,\,\,\,\theta \in \left[ -\pi ,\pi \right]\)

In questo caso la curva è data in forma polare. Quindi usando \(x=\rho \,\cos \theta ,\,\,y=\rho \,\sin \theta \) , si ha \(\gamma =\left( {{\left( \theta +\pi \right)}^{2}}\,\cos \theta ,{{\left( \theta +\pi \right)}^{2}}\,\sin \theta \right)\)

Per il calcolo della lunghezza della curva si può sfruttare la formula

\(\int_{{{\theta }_{0}}}^{{{\theta }_{1}}}{\sqrt{{{\left( \rho \left( \theta \right) \right)}^{2}}+{{\left( {\rho }’\left( \theta \right) \right)}^{2}}}d\theta }=\int_{-\pi }^{\pi }{\sqrt{{{\left( \theta +\pi \right)}^{4}}+4{{\left( \theta +\pi \right)}^{2}}}d\theta }=\)

A questo punto cambio variabile: \(\theta +\pi =t\)

\(\int\limits_{0}^{2\pi }{\sqrt{{{t}^{4}}+4{{t}^{2}}}}dt=\int\limits_{0}^{2\pi }{t\,\sqrt{{{t}^{2}}+4}}dt=\left[ \frac{1}{2}\frac{{{\left( {{t}^{2}}+4 \right)}^{\frac{3}{2}}}}{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{2\pi }=\left[ \frac{{{\left( {{t}^{2}}+4 \right)}^{\frac{3}{2}}}}{3} \right]_{0}^{2\pi }=\frac{1}{3}\left[ {{\left( 4{{\pi }^{2}}+4 \right)}^{\frac{3}{2}}}-{{4}^{\frac{3}{2}}} \right]=\frac{8}{3}\left[ {{\left( {{\pi }^{2}}+1 \right)}^{\frac{3}{2}}}-1 \right]\)

Esercizio 4

Integrali curvilinei.

\(f=x\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right),\,\,\,\rho \left( \theta \right)=\sin \theta \,\,\,\,\,\theta \in \left[ 0,\frac{\pi }{2} \right]\)

\(\gamma =\left( \sin \theta \,\cos \theta ,\,\,{{\sin }^{2}}\theta \right)\)

\(\int\limits_{\gamma }{f\,d\gamma }=\int\limits_{{{\theta }_{0}}}^{{{\theta }_{1}}}{f\left( x\left( \theta \right),y\left( \theta \right) \right)\sqrt{{{\left( \rho \left( \theta \right) \right)}^{2}}+{{\left( {\rho }’\left( \theta \right) \right)}^{2}}}\,d\theta }=\)

\(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin \theta \cos \theta \left( {{\sin }^{2}}\theta {{\cos }^{2}}\theta +{{\cos }^{4}}\theta \right)\sqrt{{{\sin }^{2}}\theta +{{\cos }^{2}}\theta }\,d\theta }=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin \theta {{\cos }^{3}}\theta \left( {{\sin }^{2}}\theta +{{\cos }^{2}}\theta \right)\,d\theta }=\)

\(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin \theta {{\cos }^{3}}\theta d\theta }=\left[ -\frac{{{\cos }^{4}}\theta }{4} \right]_{0}^{\frac{\pi }{2}}=\frac{1}{4}\)

Lezioni di Analisi Matematica 2


Autore: ing. Casparriello Marco

Lezioni di matematica e fisica a cura di Marco Casparriello.