CURVE E INTEGRALI CURVILINEI

PARAMETRIZZAZIONE DI CURVA

si definisce parametrizzazione di curva una funzione continua

$\varphi :I\to X$

Dove $I$ è un intervallo della retta reale, e $X$ è un qualsiasi spazio topologico (può ad esmpio essere il piano cartesiano ${{\mathbb{R}}^{2}}$ o lo spazio ${{\mathbb{R}}^{3}}$ , o più in generale${{\mathbb{R}}^{n}}$.

SOSTEGNO DI UNA CURVA

L’immagine (codominio) $\varphi \left( I \right)=\left\{ x\left( t \right),y\left( t \right):\,\,\,\,t\in I \right\}$ di una curva è detta sostegno o grafico (non coincide con la funzione, infatti per valori diversi del parametro di ingresso la curva può passare più volte dallo stesso punto)

Alcuni esempi di curve

${{\varphi }_{1}}\left( t \right)=\left( \cos t,\sin t \right),\,\,t\in \left[ 0,\frac{\pi }{2} \right]$ ; ${{\varphi }_{2}}\left( t \right)=\left( \cos t,\sin t \right),\,\,t\in \left[ 0,2\pi \right]$;${{\varphi }_{3}}\left( t \right)=\left( \cos t,\sin t \right),\,\,t\in \left[ 0,3\pi \right]$

Sono tre curve diverse in quanto cambia l’insieme di definizione.

La prima ${{\varphi }_{1}}$rappresenta un quarto di circonferenza, la seconda${{\varphi }_{2}}$ e la terza${{\varphi }_{3}}$ rappresentano una circonferenza completa di raggio unitario e centro nell’origine.

${{\varphi }_{2}}$e ${{\varphi }_{3}}$hanno lo stesso sostegno.

${{\varphi }_{4}}\left( t \right)=\left( {{t}^{2}},t \right)\,\,,\,\,\,\,t\in \left[ 0,1 \right]$ , ${{\varphi }_{5}}\left( t \right)=\left( {{\left( 1-t \right)}^{2}},1-t \right)\,\,,\,\,\,\,t\in \left[ 0,1 \right]$

${{\varphi }_{4}}$e ${{\varphi }_{5}}$hanno entrambe lo stesso sostegno (un arco di parabola), ma orientazione opposta.

Applicazione delle curve per rappresentare fenomeni fisici

LEGGE ORARIA: In fisica la funzione così definita $f:I\to {{\mathbb{R}}^{3}}$si utilizza per rappresentare la legge oraria che descrive il movimento di una particella nello spazio.

$\varphi \left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right) \right),\,\,t\in \left[ 0,{{T}_{obs}} \right]$

$\varphi \left( t \right)$ è un vettore che rappresenta all’istante generico $t$ la posizione del corpo.

CURVE PIANE

si parla di curve piane quando, il sostegno è nel piano cartesiano ${{\mathbb{R}}^{2}}$ ($\varphi :I\to {{\mathbb{R}}^{2}}$)

ARCO DI CURVA

Se una curva è definita su intervallo chiuso e limitato $I=\left[ a,b \right]$ allora è anche detta anche arco di curva.

CURVA CHIUSA

Un arco di curva si dice curva chiusa se $\varphi \left( a \right)=\varphi \left( b \right)$

CURVA SEMPLICE

Una curva $\varphi :I\to X$si dice semplice se $\varphi \left( {{t}_{1}} \right)\ne \varphi \left( {{t}_{2}} \right)\,\,\forall {{t}_{1}}\in I,\,\,\,{{t}_{2}}\in \overset{o}{\mathop{I}}\,\,,\,\,{{t}_{1}}\ne {{t}_{2}}$

La scrittura $\forall {{t}_{1}}\in I,\,\,\,{{t}_{2}}\in \overset{o}{\mathop{I}}\,\,,$ pone una sottigliezza nella definizione: cioè tiene conto del fatto che una curva chiusa può essere semplice: infatti se $I=\left[ a,b \right]$ e$\varphi \left( a \right)=\varphi \left( a \right)$ si ha che $a,b\notin \overset{o}{\mathop{I}}\,\,,$mentre la definizione dice che almeno dei due punti che si confrontano deve essere interno all’intervallo $I$

CURVA DI CLASSE C1

una curva $\varphi :I\to {{\mathbb{R}}^{n}}$si dice di classe ${{C}^{1}}$, se le sue componenti $x\left( t \right)$ e $y\left( t \right)$ sono derivabili con derivata continua.

CURVA REGOLARE

Una curva di classe ${{C}^{1}}$, si dice curva regolare se ${\varphi }’\left( t \right)=\left( {x}’\left( t \right),{y}’\left( t \right) \right)\ne \left( 0,0 \right)\,\,\,\,\forall t\in \overset{o}{\mathop{I}}\,$

RETTA TANGENTE AD UNA CURVA NEL PIANO CARTESIANO

La curva deve essere regolare nel punto in cui si vuole costruire la retta tangente, cioè deve esistere un intervallo che circonda ${{t}_{0}}$, in cui la curva risulti regolare.

$\left( x-x\left( {{t}_{0}} \right) \right){y}’\left( {{t}_{0}} \right)=\left( y-y\left( {{t}_{0}} \right) \right){x}’\left( {{t}_{0}} \right)$

VERSORE TANGENTE AD UNA CURVA NEL PIANO CARTESIANO

Un generico vettore tangente alla curva è dato da: ${\varphi }’\left( {{t}_{0}} \right)=\left( {{x}_{1}}^{\prime }\left( {{t}_{0}} \right),..,{{x}_{n}}^{\prime }\left( {{t}_{0}} \right) \right)$

Se si normalizza tale vettore allora abbiamo costruito un versore tangente alla curva nel punto ${{t}_{0}}$ . In ${{\mathbb{R}}^{2}}$ l’espressione diventa la seguente (facile poi generalizzare ad ${{\mathbb{R}}^{n}}$:

$\mathbf{T}\left( {{t}_{0}} \right)=\frac{{\varphi }’\left( {{t}_{0}} \right)}{\left| {\varphi }’\left( {{t}_{0}} \right) \right|}=\left( \frac{{x}’\left( {{t}_{0}} \right)}{\sqrt{{{\left[ {x}’\left( {{t}_{0}} \right) \right]}^{2}}+{{\left[ {y}’\left( {{t}_{0}} \right) \right]}^{2}}}},\frac{{y}’\left( {{t}_{0}} \right)}{\sqrt{{{\left[ {x}’\left( {{t}_{0}} \right) \right]}^{2}}+{{\left[ {y}’\left( {{t}_{0}} \right) \right]}^{2}}}} \right)$

Sia $\mathbf{v}=\left( a,b \right)$ un generico vettore normale, i vettore ortonormali ad esso sono dati da ${{\mathbf{w}}_{1}}=\left( b,-a \right)$ e ${{\mathbf{w}}_{2}}=\left( -b,a \right)$. Scegliendo il primo ${{\mathbf{w}}_{1}}=\left( b,-a \right)$, si ottiene una base ortonormale $\left\langle \mathbf{v},{{\mathbf{w}}_{1}} \right\rangle$ che ha la stessa orientazione della base canonica $\left\langle {{\mathbf{e}}_{1}},{{\mathbf{e}}_{2}} \right\rangle$, cioè una coppia destrosa.

Applicando questa regola si ottiene che il vettore normale alla curva si può ottenere a partire da quello tangente ed ha la seguente regola:

$\mathbf{N}\left( {{t}_{0}} \right)=\left( \frac{{y}’\left( {{t}_{0}} \right)}{\sqrt{{{\left[ {x}’\left( {{t}_{0}} \right) \right]}^{2}}+{{\left[ {y}’\left( {{t}_{0}} \right) \right]}^{2}}}},\frac{-{x}’\left( {{t}_{0}} \right)}{\sqrt{{{\left[ {x}’\left( {{t}_{0}} \right) \right]}^{2}}+{{\left[ {y}’\left( {{t}_{0}} \right) \right]}^{2}}}} \right)$

esercizi sulle curve

CURVE ORDINARIE

Se $f:\left[ a,b \right]\to \mathbb{R}$ è una funzione continua, la curva $\varphi \left( t \right)=\left( t,f\left( t \right) \right)\,,\,\,\,t\in \left[ a,b \right]$ è detta curva ordinaria.

Il sostegno è il grafico della funzione.

Una curva ordinaria è una curva sempre regolare, infatti:

1. ${\varphi }’\left( t \right)=\left( 1,{f}’\left( t \right) \right)$ è di classe ${{C}^{1}}$ in quanto lo sono le componenti (${x}’=1$ è la funzione costante che è continua e ${f}’\left( t \right)$è continua per definizione)

2. ${\varphi }’\left( t \right)=\left( 1,{f}’\left( t \right) \right)\ne \left( 0,0 \right)$, e questo è banale perché c’è l’1 che non si annulla mai.

CURVE IN COORDINATE POLARI

Le curve possono essere espresse in coordinate polari, attraverso le relazioni:$\rho =\rho \left( \theta \right)$ , $\theta \in \left[ {{\theta }_{0}},{{\theta }_{1}} \right]$ . $\rho$ rappresenta la distanza dall’origine e $\theta$ l’angolo formato con le ascisse positive.

Le equazioni parametriche nel piano cartesiano diventano

\(\left\{ \begin{align}& x=\rho \left( \theta \right)\cos \theta \\& y=\rho \left( \theta \right)\sin \theta \\\end{align} \right.\,\,\,\,\,\,\,\theta \in \left[ {{\theta }_{0}},{{\theta }_{1}} \right]\),

ovvero: $\varphi :\left[ {{\theta }_{0}},{{\theta }_{1}} \right]\to {{\mathbb{R}}^{2}}$ con $\varphi \left( \theta \right)=\left( \rho \left( \theta \right)\cos \theta ,\,\,\rho \left( \theta \right)\sin \theta \right)$

Regolarità di una curva polare

${x}’={\rho }’\cos \theta -\rho \sin \theta$

${y}’={\rho }’\sin \theta +\rho \cos \theta$

${\varphi }’=\left( {\rho }’\cos \theta -\rho \sin \theta ,\,\,\,{\rho }’\sin \theta +\rho \cos \theta \right)=\left( {x}’,{y}’ \right)\ne \left( 0,0 \right)\,\,\Rightarrow \,\,\,{{\left( {{x}’} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}’} \right)}^{2}}=0\,\,\,\,\Rightarrow$

$\Rightarrow \,\,{{\left( {\rho }’\cos \theta -\rho \sin \theta \right)}^{2}}+{{\left( {\rho }’\sin \theta +\rho \cos \theta \right)}^{2}}\,={{\left( {{\rho }’} \right)}^{2}}+{{\left( \rho \right)}^{2}}\ne 0\,\,\,\,\,\,\forall \theta \in \left[ {{\theta }_{0}},{{\theta }_{1}} \right]$

Si deve verificare cioè che non si annullano mai simultaneamente ${\rho }’$ e $\rho$ e che $\rho$ sia una funzione di classe ${{C}^{1}}$.

LUNGHEZZA DI UN ARCO DI CURVA

Sia $\varphi :\left[ a,b \right]\to {{\mathbb{R}}^{n}}$ e sia $\mathbf{D}$ l’insieme di tutte le possibili partizioni $D$ dell’intervallo $\left[ a,b \right]$ :

$D\in$ $\mathbf{D}$$\Leftrightarrow D=\left\{ {{t}_{0}},{{t}_{1}},..,{{t}_{n}} \right\}$ con $a={{t}_{0}}<{{t}_{1}}<…<{{t}_{n}}=b$

Un approssimazione della curva è data dalla lunghezza della spezzata ottenuta congiungendo i punti $\varphi \left( {{t}_{0}} \right),\varphi \left( {{t}_{1}} \right),…,\varphi \left( {{t}_{n}} \right)$, ovvero: $L\simeq \sum\limits_{i=1}^{n}{\left\| \varphi \left( {{t}_{i}} \right)-\varphi \left( {{t}_{i-1}} \right) \right\|}$ .

CURVA RETTIFICABILE

Un arco di curva si dice CURVA RETTIFICABILE se $\underset{D\in D}{\mathop{\sup }}\,\sum\limits_{i=1}^{n}{\left\| \varphi \left( {{t}_{i}} \right)-\varphi \left( {{t}_{i-1}} \right) \right\|}<\infty$

La LUNGHEZZA di una curva rettificabile è data da $L\left( \varphi \right)=\underset{D\in D}{\mathop{\sup }}\,\sum\limits_{i=1}^{n}{\left\| \varphi \left( {{t}_{i}} \right)-\varphi \left( {{t}_{i-1}} \right) \right\|}$

TEOREMA DI RETTIFICABILITA’ DELLE CURVE DI CLASSE C1

Se$\varphi :\left[ a,b \right]\to {{\mathbb{R}}^{n}}$ è un arco di classe ${{C}^{1}}$ allora la curva è rettificabile e vale

(è una generalizzazione dell’integrale di Riemann per funzioni nel piano cartesiano)

$L\left( \varphi \right)=\int_{a}^{b}{\left\| {\varphi }’\left( t \right) \right\|dt}=\int_{a}^{b}{\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}^{\prime }\left( t \right) \right)}^{2}}+…+{{\left( {{x}_{n}}^{\prime }\left( t \right) \right)}^{2}}}dt}$

Oppure usando la notazione dell’integrale di linea si ha:

$L\left( \varphi \right)=\int_{\varphi }{ds}$

LUNGHEZZA DI UNA CURVA ORDINARIA

$f:\left[ a,b \right]\to \mathbb{R}$ , $\varphi :\left[ a,b \right]\to {{\mathbb{R}}^{2}}$ e $\varphi \left( t \right)=\left( t,f\left( t \right) \right)$

Se $f$ è di classe ${{C}^{1}}$ la curva è rettificabile e la LUNGHEZZA DEL GRAFICO DI$f$ è data da:

$L\left( \varphi \right)=\int_{a}^{b}{\left\| {\varphi }’\left( t \right) \right\|dt}=\int_{a}^{b}{\sqrt{1+{{\left( {f}’\left( t \right) \right)}^{2}}}dt}$

LUNGHEZZA DI UNA CURVA IN FORMA POLARE

$\rho =\rho \left( \theta \right),\,\,\,\,\,\theta \in \left[ {{\theta }_{0}},{{\theta }_{1}} \right]$ , $\varphi \left( \theta \right)=\left( \rho \left( \theta \right)\cos \theta ,\,\,\,\rho \left( \theta \right)\sin \theta \right)$

$L\left( \varphi \right)=\int_{{{\theta }_{0}}}^{{{\theta }_{1}}}{\left\| {\varphi }’\left( \theta \right) \right\|d\theta }=\int_{{{\theta }_{0}}}^{{{\theta }_{1}}}{\sqrt{{{\left( {{x}’} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}’} \right)}^{2}}}d\theta }=\int_{{{\theta }_{0}}}^{{{\theta }_{1}}}{\sqrt{{{\left( \rho \left( \theta \right) \right)}^{2}}+{{\left( {\rho }’\left( \theta \right) \right)}^{2}}}d\theta }$

NOTA BENE

La lunghezza della curva non dipende solo dal sostegno (quindi dal grafico), infatti che un corpo disegni una certa traiettoria, non implica che lo stesso non possa passare due volte dallo stesso tratto.

In altre parole se una curva disegnata sul piano cartesiano (sostegno) è un quadrato di lato l non è detto che la sua lunghezza sia uguale al perimetro 4l del quadrato.

CURVA REGOLARE A TRATTI

Una curva si dice regolare a tratti quando è definita su un dominio $I$ tale che è suddivisibile nell’unione di un certo numero di intervalli $I={{I}_{1}}\cup {{I}_{2}}\cup …\cup {{I}_{n}}$ , su ciascuno dei quali la curva è regolare.

Esempio: Il bordo del quadrato $\left[ 0,1 \right]\times \left[ 0,1 \right]$ , è un esempio di funzione regolare a tratti (“è irregolare” in corrispondenza degli spigoli, qui si può notare un’analogia con i punti angolosi di non derivabilità):

$\varphi :\left[ 0,4 \right]\to {{\mathbb{R}}^{2}}$

\(\varphi \left( t \right)=\left\{ \begin{align}& \left( t,0 \right)\,\,\,t\in [0,1) \\& \left( 1,t-1 \right)\,\,\,t\in [1,2) \\& \left( 3-t,1 \right)\,\,t\in [2,3) \\& \left( 0,4-t \right)\,\,t\in [3,4] \\\end{align} \right.\)

Le curve ${{\varphi }_{1}}\left( t \right)=\left( t,0 \right)\,\,\,t\in [0,1)$, ${{\varphi }_{2}}\left( t \right)=\left( 1,t-1 \right)\,\,\,t\in [1,2)$, ${{\varphi }_{3}}\left( t \right)=\left( 3-t,1 \right)\,\,\,t\in [2,3)$ ${{\varphi }_{3}}\left( t \right)=\left( 0,4-t \right)\,\,\,t\in [3,4]$ sono REGOLARI.

Si dimostra che CURVE REGOLARI A TRATTI sono RETTIFICABILI, e la LUNGHEZZA vale:

$L\left( \varphi \right)=L\left( {{\varphi }_{1}} \right)+L\left( {{\varphi }_{2}} \right)+…+L\left( {{\varphi }_{n}} \right)$

CURVE EQUIVALENTI – CURVE ORIENTATE E ASCISSA CURVILINEA

Siano $I=\left[ a,b \right]$ e $J=\left[ c,d \right]$

Due curve $\varphi :I\to {{\mathbb{R}}^{n}}$ e $\psi :I\to {{\mathbb{R}}^{n}}$si dicono equivalenti se esiste un’applicazione $g:I\to J$ invertibile e di classe ${{C}^{1}}$ (diffeomorfismo di classe${{C}^{1}}$) tale che:

${g}’\left( t \right)\ne 0\,\,$ e $\varphi \left( t \right)=\psi \left( g\left( t \right) \right)$ $\forall t\in I$

Data una curva $\varphi$ , si è soliti chiamare ancora curva $\gamma =\left[ \varphi \right]$ l’insieme di tutte le curve equivalenti a $\varphi$.

La curva $\gamma$, rappresenta l’insieme di tutte le parametrizzazioni di curve, che rappresentano lo stesso cammino. Nello specifico, il passaggio da$\varphi$a $\psi$lo si può vedere come un cambio di parametrizzazione.

Esempio di curve equivalenti

${{\varphi }_{1}}\left( t \right)=\left( \cos t\,,\,\sin t \right),\,\,\,t\in I=\left[ 0,\pi \right]$ e ${{\varphi }_{2}}\left( t \right)=\left( \cos 2t\,,\,\sin 2t \right),\,\,\,t\in J=\left[ 0,\frac{\pi }{2} \right]$.

Praticamente ${{\varphi }_{1}}$e ${{\varphi }_{2}}$rappresentano due parametrizzazioni della stessa curva (mezza circonferenza). Un possibile diffeomorfismo è dato da $g:I\to J$ $g\left( t \right)=\frac{t}{2}$

${{\varphi }_{2}}\left( g\left( t \right) \right)=\left( \cos 2g\left( t \right)\,,\,\sin 2g\left( t \right) \right)=\left( \cos t\,,\,\sin t \right),\,\,\,t\in I=\left[ 0,\pi \right]$

Il simbolo per rappresentare curve equivalenti è $\sim$

Nell’esempio si ha: ${{\varphi }_{1}}\sim {{\varphi }_{2}}$

Il simbolo di equivalenza gode delle proprietà:

riflessiva: $\varphi \sim \varphi$

simmetrica: ${{\varphi }_{1}}\sim {{\varphi }_{2}}\,\Leftrightarrow \,\,\,{{\varphi }_{2}}\sim {{\varphi }_{1}}$

transitiva: ${{\varphi }_{1}}\sim {{\varphi }_{2}}\,,\,\,\,{{\varphi }_{2}}\sim {{\varphi }_{3}}\,\Leftrightarrow \,\,\,{{\varphi }_{1}}\sim {{\varphi }_{3}}$

Ogni parametrizzazione di una curva induce un “verso di percorrenza” o più correttamente un orientazione.

Due parametrizzazioni equivalenti $\varphi \sim \psi$ inducono lo stessa orientazione se $\varphi \left( t \right)=\psi \left( g\left( t \right) \right)\,\,$ con $g\left( t \right)$ è monotona crescente, mentre inducono orientazione opposta se $g\left( t \right)$ è monotona decrescente. La monotonia è garantita dal fatto che $g\left( t \right)$è invertibile.

Si può osservare che curve equivalenti con la stessa orientazione, hanno lo versore tangente (punta nella direzione di percorrenza) in ogni punto del sostegno, mentre curve equivalenti con orientazione opposta hanno in ogni punto del sostegno versore tangente uguale in modulo e direzione, ma opposto in verso.

La lunghezza di parametrizzazioni equivalenti è la stessa, indipendentemente dall’orientazione.

Il passaggio da una parametrizzazione all’altra in un integrale curvilineo corrisponde ad una sostituzione.

$L\left( \varphi \right)=\int_{a}^{b}{\left\| {\varphi }’\left( t \right) \right\|dt=\int_{a}^{b}{\left\| {\psi }’\left( g\left( t \right) \right){g}’\left( t \right) \right\|dt}=}\int_{a}^{b}{\left\| {\psi }’\left( g\left( t \right) \right) \right\|}$

Facendo a questo punto la sostituzione $s=g\left( t \right)\,\,\,\Rightarrow \,\,\,ds={g}’\left( t \right)dt$

$L\left( \varphi \right)=\int_{c}^{d}{\left\| {\psi }’\left( s \right) \right\|ds}=L\left( \psi \right)$

INTEGRALE CURVILINEO DI UNA FUNZIONE

Integrale su una curva regolare: Sia $f:\Omega \to \mathbb{R}$ , una funzione continua su un aperto $\Omega \subseteq {{\mathbb{R}}^{n}}$ , $\gamma$ una curva di classe ${{C}^{1}}$(regolare) con sostegno in $\Omega$ e $\varphi$ una parametrizzazione di $\gamma$ (cioè $\gamma =\left[ \varphi \right]$ ), allora $\varphi \left( t \right)=\left( x\left( t \right),y\left( t \right) \right),\,\,\,\,t\in \left[ a,b \right]$ .

Si vuole definire un integrale che calcola l’area della superficie che sottende il grafico di $f$ in corrispondenza della curva $\gamma$.

Anche in questo caso si parte definendo l’insieme delle possibili partizioni del dominio.

Sia $\varphi :\left[ a,b \right]\to {{\mathbb{R}}^{n}}$ un arco di curva regolare e sia $\mathbf{D}$ l’insieme di tutte le possibili partizioni $D$ dell’intervallo $\left[ a,b \right]$ :

$D\in$ $\mathbf{D}$$\Leftrightarrow D=\left\{ {{t}_{0}},{{t}_{1}},..,{{t}_{n}} \right\}$ con $a={{t}_{0}}<{{t}_{1}}<…<{{t}_{n}}=b$

Data una partizione $D$ , una maggiorazione $S\left( D \right)$ dell’area cercata è data dalla somma di tutte le aree ottenute moltiplicando la lunghezza del tratto di curva ${{l}_{i}}$ che congiunge due punti adiacenti $\varphi \left( {{t}_{i-1}} \right),\varphi \left( {{t}_{i}} \right)$ (cioè ${{l}_{i}}=\int\limits_{{{t}_{i-1}}}^{{{t}_{i}}}{\left\| {\varphi }’\left( t \right) \right\|dt}$ ) e il valore massimo ${{M}_{i}}$ della funzione che si ha percorrendo l’insieme $\Omega$ lungo il tratto di curva delimitato dagli estremi $\varphi \left( {{t}_{i-1}} \right)$e $\varphi \left( {{t}_{i}} \right)$.(cioè ${{M}_{i}}=\underset{t\in \left[ {{t}_{i-1}},{{t}_{i}} \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( \varphi \left( t \right) \right)$ ). Una minorazione $s\left( D \right)$ si ottiene invece sostituendo il massimo della funzione con il minimo ${{m}_{i}}=\underset{t\in \left[ {{t}_{i-1}},{{t}_{i}} \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( \varphi \left( t \right) \right)$. E si ha che:

$S\left( D \right)=\sum\limits_{i=1}^{n}{l{}_{i}^{{}}{{M}_{i}}}$ e $s\left( D \right)=\sum\limits_{i=1}^{n}{l{}_{i}^{{}}{{m}_{i}}}$

Si dimostra che: $\underset{D\in D}{\mathop{\sup }}\,s\left( D \right)=\underset{D\in D}{\mathop{\inf }}\,S\left( D \right)$ e tale valore coincide con l’integrale curvilineo di $f$ lungo $\gamma$ e vale:

$\int_{\gamma }{f\,ds}=\int_{a}^{b}{f\left( \varphi \left( t \right) \right)\left\| {\varphi }’\left( t \right) \right\|dt}=\int_{a}^{b}{f\left( {{x}_{1}}\left( t \right),…,{{x}_{n}}\left( t \right) \right)\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}^{\prime }\left( t \right) \right)}^{2}}+…+{{\left( {{x}_{n}}^{\prime }\left( t \right) \right)}^{2}}}dt}$

Anche l’integrale curvilineo è invariante per parametrizzazioni equivalenti.

PROPRIETA’ DELL’INTEGRALE CURVILINEO

Siano $f,g:\Omega \to \mathbb{R}$, due funzioni continue con $\Omega \subseteq {{\mathbb{R}}^{n}}$ insieme aperto, $\gamma$ una curva di classe ${{C}^{1}}$con sostegno in $\Omega$ , l’integrale curvilineo gode delle seguenti proprietà:

LINEARITA’

$\forall \alpha ,\beta \in \mathbb{R}$ , $\int_{\gamma }{\alpha f+\beta g\,\,\,ds}=\alpha \int_{\gamma }{f\,\,ds}+\beta \int_{\gamma }{g\,\,\,ds}$

MONOTONIA

(0<f\left( \mathbf{x} \right)<g\left( \mathbf{x} \right)\,\,\,\,\,\,\forall \mathbf{x}\in \Omega \,\,\,\Rightarrow \,\,\,\int_{\gamma }{f\,ds}<\,\int_{\gamma }{g\,ds}\)

ADDITIVITA‘

rispetto al dominio di integrazione (possibilità di spezzare l’integrale)

Se $\gamma =\left[ \varphi \left( t \right):\,\,\,t\in \left[ a,b \right] \right]$, ${{\gamma }_{1}}=\left[ \varphi \left( t \right):\,\,\,t\in \left[ a,c \right] \right]$ e ${{\gamma }_{2}}=\left[ \varphi \left( t \right):\,\,\,t\in \left[ c,b \right] \right]$con $a<c<b$ . Allora

$\int_{\gamma }{f\,\,ds}=\int_{{{\gamma }_{1}}}{f\,\,ds}+\int_{{{\gamma }_{2}}}{f\,\,ds}$

Integrale su una curva regolare a tratti

Se $\gamma$ è una curva regolare a tratti, allora è possibile calcolare l’area della superficie che sottende il grafico di $f$ in corrispondenza della curva $\gamma$, spezzando la curva in $n$ tratti di curve regolari e di conseguenza anche l’integrale nella somma di $n$ integrali ciascuno calcolato su una curva regolare.

$\int_{\gamma }{f\,ds}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\int_{{{\gamma }_{i}}}{f\,ds}}$

CURVE CONCATENATE

Consideriamo due curve ${{\gamma }_{1}}$ e${{\gamma }_{2}}$, con ${{\varphi }_{1}}:\left[ a,b \right]\to {{\mathbb{R}}^{n}}$ parametrizzazione di ${{\gamma }_{1}}$e ${{\varphi }_{2}}:\left[ c,d \right]\to {{\mathbb{R}}^{n}}$ parametrizzazione di ${{\gamma }_{2}}$, tali che il secondo estremo di ${{\gamma }_{1}}$coincida con il primo estremo di ${{\gamma }_{2}}$, cioè ${{\gamma }_{1}}\left( b \right)={{\gamma }_{2}}\left( c \right)$ . Si definisce curva concatenata di ${{\gamma }_{1}}$ e ${{\gamma }_{2}}$, la curva $\gamma$ che si ottiene percorrendo prima ${{\gamma }_{1}}$e poi ${{\gamma }_{1}}$ e si scrive $\gamma ={{\gamma }_{1}}\oplus {{\gamma }_{2}}$ .

Se le due curve che si concatenano sono regolari o regolari a tratti, allora si ha:

1. $L\left( {{\gamma }_{1}}\oplus {{\gamma }_{2}} \right)=L\left( {{\gamma }_{1}} \right)+L\left( {{\gamma }_{2}} \right)$

2. $\int_{{{\gamma }_{1}}\oplus {{\gamma }_{2}}}{f\,ds}=\int_{{{\gamma }_{1}}}{f\,ds+}\int_{{{\gamma }_{2}}}{f\,ds}$

Per ogni funzione $f$ continua tale che il suo dominio contenga i sostegni di ${{\gamma }_{1}}$ e ${{\gamma }_{2}}$ .