UNITÀ IMMAGINARIA
\(i=\sqrt{-1}\,,\) \({{i}^{2}}=-1\,,\) \({{i}^{3}}=i\cdot {{i}^{2}}=-i\,\,,\) \({{i}^{4}}={{i}^{2}}\cdot {{i}^{2}}=1\,,\,\,….\)
PIANO DI GAUSS
RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI COMPLESSI
- FORMA ALGEBRICA \(x=a+ib\,\,\,\,\) \(con\,\,\,\,a,b\in \mathbb{R}\)
- FORMA ESPONENZIALE \(x=\rho {{e}^{i\alpha }}\,\,\,\,\,\,,\rho >0\,\,\,\theta \in \left[ 0,2\pi \right]\)
- FORMA TRIGONOMETRICA \(x=\rho \cos \alpha +i\rho \sin \alpha\)
PASSARE DA UNA RAPPRESENTAZIONE ALL’ALTRA
FORMA ALGEBRICA => FORMA ESPONENZIALE
\(\rho =\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\)
$\left\{ \begin{align} & \alpha =\arctan \frac{b}{a}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{se a}>0 \\ & \alpha =\arctan \frac{b}{a}+\pi \text{ se a }<0 \\ \end{align} \right.$
\(\left\{ \begin{align} & \cos \alpha =\frac{a}{\rho } \\ & \sin \alpha =\frac{b}{\rho }\\ \end{align} \right.\)
FORMA ESPONENZIALE => FORMA ALGEBRICA
\(\rho \cdot {{e}^{i\alpha }}=\rho \cos \alpha +i\,\rho \sin \alpha \)
CONIUGATO DI UN NUMERO COMPLESSO
Sia \({{z}_{0}}=a+ib=\rho \left( \cos \theta +i\sin \theta \right)\)
Il coniugato è dato da \({{\bar{z}}_{0}}=a-ib=\rho \left( \cos \left( -\theta \right)+i\sin \left( -\theta \right) \right)\)
MODULO DI UN NUMERO COMPLESSO
Sia \({{z}_{0}}=a+ib=\rho \left( \cos \theta +i\sin \theta \right)\)
Il modulo è dato da \(\left| {{z}_{0}} \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\rho \)
PARTE REALE E PARTE IMMAGINARIA DI UN NUMERO COMPLESSO
Sia \({{z}_{0}}=a+ib=\rho \left( \cos \theta +i\sin \theta \right)\)
La parte reale e immaginaria sono date rispettivamente da \(\operatorname{Re}\left\{ {{z}_{0}} \right\}=a=\rho \cos \theta \,\,,\,\,\,\,\,\operatorname{Im}\left\{ {{z}_{0}} \right\}=b=\rho \sin \theta \,\,\)
DIVISIONE TRA DUE NUMERI COMPLESSI
\(\frac{1-i}{3+2i}=\frac{1-i}{3+2i}\frac{3-2i}{3-2i}=\frac{\left( 1-i \right)\left( 3-2i \right)}{9+4}\)
PRODOTTO TRA DUE NUMERI COMPLESSI
\({{z}_{1}}\cdot {{z}_{2}}={{\rho }_{1}}{{\rho }_{2}}\left( \cos \left( {{\theta }_{1}}+{{\theta }_{2}} \right)+i\sin \left( {{\theta }_{1}}+{{\theta }_{2}} \right) \right)\)
FORMULE DI DE MOIVRE
Sia \({{z}_{0}}=a+ib=\rho \left( \cos \theta +i\sin \theta \right)\)
POTENZA DI UN NUMERO COMPLESSO
\({{z}_{0}}^{n}={{\rho }^{n}}\left( \cos n\theta +i\sin n\theta \right)\)
RADICI DI UN NUMERO COMPLESSO
\(\sqrt[n]{{{z}_{0}}}=\,\sqrt[n]{\rho }\,\,\left( \cos \left( \frac{\theta }{n}+\frac{2k\pi }{n} \right)+i\sin \left( \frac{\theta }{n}+\frac{2k\pi }{n} \right) \right)\,\,k=0,..,n-1\)
