\(\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{a}_{n}}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+…\) dove \({{\left\{ {{a}_{n}} \right\}}_{n\in \mathbb{N}}}\) è una successione.
Sia \({{s}_{k}}=\sum\limits_{n=0}^{k}{{{a}_{n}}}\) si ha che \(\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{a}_{n}}}=\underset{k\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{s}_{k}}\)
\(\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{q}^{n}}}=\left\{ \begin{align} & \frac{1}{1-q}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,se\,\,\,\,\left| a \right|<1 \\ & +\infty ,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,se\,\,\,\,a\ge 1 \\ & non\,\,esiste\,\,\,\,\,\,\,se\,\,\,a\le 1 \\\end{align} \right.\,\)
Se \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=0\) allora la serie può convergere, se questo limite non fa zero allora la serie non può convergere
Se \(0\le {{a}_{n}}\le {{b}_{n}}\,\,\,\forall n>\bar{n}\,\,\,\) Allora:
\(se\,\,\,\sum{{{a}_{n}}=+\infty \,\,\,\,}\) \(\,\Rightarrow \,\,\) \(\,\,\sum{{{b}_{n}}=+\infty }\)
\(se\,\,\,\sum{{{b}_{n}}<+\infty \,\,\,\,}\) \(\,\Rightarrow \,\,\,\) \(\,\sum{{{a}_{n}}}<+\infty \)
In tutti gli altri casi non si può dire nulla.
Si vuole valutare il carattere della serie \(\sum{\frac{\cos n}{{{n}^{2}}}}\)
Basta osservare che \(\frac{\cos n}{{{n}^{2}}}\le \frac{1}{{{n}^{2}}}\,\,\,\forall n\in \mathbb{N}\) , e che \(\sum{\frac{1}{{{n}^{2}}}}\) è la serie armonica generalizzata con \(\alpha =2\) quindi converge
Se \({{a}_{n}}\ge 0\,\,\,e\,\,\,\,{{b}_{n}}\ge 0\) \(\forall n>\bar{n}\)
\(\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}\,=\,l\,\,\in \,\,\mathbb{R}\,\cup \,\left\{ +\infty \right\}\)
\(Se\,\,\,\,\,l\ne 0\,\,\,e\,\,\,l\ne \infty \) \(\Rightarrow\) \(\sum{{{a}_{n}}}\,\,e\,\,\,\sum{{{b}_{n}}\,\,\,hanno\,lo\,stesso\,comportamento}\)
Se \(l=0\) \(\Rightarrow \) \(\left\{ \begin{align} & Se\,\sum{{{b}_{n}}=\infty \,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,non\,si\,pu\grave{o}\,dire\,niente} \\ & Se\,\,\sum{{{b}_{n}}<\infty \,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\sum{{{a}_{n}}<\infty }}\,\, \\ \end{align} \right.\)
Se \(l=+\infty\) \(\Rightarrow\) \(\left\{ \begin{align} & Se\,\sum{{{b}_{n}}<\infty \,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,non\,si\,pu\grave{o}\,dire\,niente} \\ & Se\,\,\sum{{{b}_{n}}=\infty \,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\sum{{{a}_{n}}=\infty }}\,\, \\ \end{align} \right.\)
Serie armonica generalizzata:
\(\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\frac{1}{{{n}^{\alpha }}}=\left\{ \begin{align} & <\infty \,\,\,se\,\,\,\,\alpha >1 \\& +\infty \,\,\,\,se\,\,\,\alpha \le 1 \\\end{align} \right.}\)
\(\sum\limits_{n=2}^{\infty }{\frac{1}{n{{\left( \log n \right)}^{\alpha }}}}=\left\{ \begin{align} & <\infty \,\,\,se\,\,\,\,\alpha >1 \\ & +\infty \,\,\,\,se\,\,\,\alpha \le 1 \\\end{align} \right.\)
Se \(\sqrt[n]{{{a}_{n}}}\,\to \,\beta \,\,\in \,\,\mathbb{R}\,\cup \,+\infty \) allora:
\(se\,\,\,\left| \beta \right|>1\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\sum{{{a}_{n}}}=\,+\infty \)
\(se\,\,\,\left| \beta \right|<1\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\sum{{{a}_{n}}\,\,<\infty }\)
\(\,se\,\,\left| \beta \right|=1\,\,\,\,\Rightarrow \,\) Non si può concludere nulla in base al criterio della radice.
Se \(\frac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{n}}}\,\to \,\beta \,\in \,\,\mathbb{R}\,\cup \,+\infty \) allora:
\(se\,\,\,\left| \beta \right|>1\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\sum{{{a}_{n}}}=\,+\infty \)
\(se\,\,\,\left| \beta \right|<1\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\sum{{{a}_{n}}\,\,<\infty }\)
\(\,se\,\,\left| \beta \right|=1\,\,\,\,\Rightarrow \,\) Non si può concludere nulla in base al criterio della radice.
La serie \(\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{a}_{n}}}\) converge se e solo se converge la serie \(\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{{{2}^{n}}{{a}_{{{2}^{n}}}}}\)
\(\left\{ \begin{align} & se\,\,\,\,\,\sum{\left| {{a}_{n}} \right|}<\infty \,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\sum{a{}_{n}<\infty } \\ & se\,\,\,\,\,\sum{\left| {{a}_{n}} \right|}>\infty \,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,non\,si\,pu\grave{o}\,concludere\,nulla\,\,\, \\\end{align} \right.\,\,\)
\(\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{\left( -1 \right)}^{n}}{{\alpha }_{n}}\,\,\,}\)
Converge se:
\(\begin{align} & \left( i \right)\,\,\,\,{{\alpha }_{n}}\,\ge \,0\,\,\,\forall n>{{n}_{1}} \\ & \left( ii \right)\,\,\,{{\alpha }_{n}}\to 0 \\ & \left( iii \right)\,{{\alpha }_{n+1}}\le \,{{\alpha }_{n}}\,\,\forall n>{{n}_{2}}\,\,\,\,(successione\,\,debolmente\,\,decrescente) \\\end{align}\)
La seconda condizione corrisponde alla condizione necessaria e quindi se non è verificata la serie diverge. Se le altre due non sono verificate allora non si può concludere nulla.
