Formulario Serie Numeriche

SERIE NUMERICHE

$\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{a}_{n}}}={{a}_{0}}+{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+…$ dove ${{\left\{ {{a}_{n}} \right\}}_{n\in \mathbb{N}}}$  è una successione.

Sia ${{s}_{k}}=\sum\limits_{n=0}^{k}{{{a}_{n}}}$ si ha che  $\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{a}_{n}}}=\underset{k\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{s}_{k}}$

SERIE GEOMETRICA

$\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{q}^{n}}}= \begin{cases}  \frac{1}{1-q}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,se\,\,\,\,\left| a \right|<1 \\ +\infty ,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,se\,\,\,\,a\ge 1 \\ non\,\,esiste\,\,\,\,\,\,\,se\,\,\,a\le 1 \\\end{cases} $

CONDIZIONE NECESSARIA DI CONVERGENZA

Se $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=0$  allora la serie può convergere, se questo limite non fa zero allora la serie non può convergere

CRITERI DI CONVERGENZA PER SERIE A TERMINI POSITIVI

CRITERIO DEL CONFRONTO

Se  $0\le {{a}_{n}}\le {{b}_{n}}\,\,\,\forall n>\bar{n}\,\,\,$ Allora:
$se\,\,\,\sum{{{a}_{n}}=+\infty \,\,\,\,}$ $\,\Rightarrow \,\,$ $\,\,\sum{{{b}_{n}}=+\infty }$

$se\,\,\,\sum{{{b}_{n}}<+\infty \,\,\,\,}$ $\,\Rightarrow \,\,\,$ $\,\sum{{{a}_{n}}}<+\infty $

In tutti gli altri casi non si può dire nulla.

Esempio

Si vuole valutare il carattere della serie $\sum{\frac{\cos n}{{{n}^{2}}}}$

Basta osservare che $\frac{\cos n}{{{n}^{2}}}\le \frac{1}{{{n}^{2}}}\,\,\,\forall n\in \mathbb{N}$ , e che $\sum{\frac{1}{{{n}^{2}}}}$ è la serie armonica generalizzata con $\alpha =2$ quindi converge

CRITERIO DEL CONFRONTO ASINTOTICO

Se ${{a}_{n}}\ge 0\,\,\,e\,\,\,\,{{b}_{n}}\ge 0$ $\forall n>\bar{n}$

$\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}\,=\,l\,\,\in \,\,\mathbb{R}\,\cup \,\left\{ +\infty  \right\}$

$Se\,\,\,\,\,l\ne 0\,\,\,e\,\,\,l\ne \infty $ $\Rightarrow$  $\sum{{{a}_{n}}}\,\,e\,\,\,\sum{{{b}_{n}}\,\,\,hanno\,lo\,stesso\,comportamento}$

Se $l=0$ $\Rightarrow $ $\begin{cases}   Se\,\sum{{{b}_{n}}=\infty \,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,non\,si\,pu\grave{o}\,dire\,niente} \\   Se\,\,\sum{{{b}_{n}}<\infty \,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\sum{{{a}_{n}}<\infty }}\,\, \\ \end{cases} $

Se $l=+\infty$  $\Rightarrow$ $ \begin{cases}   Se\,\sum{{{b}_{n}}<\infty \,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,non\,si\,pu\grave{o}\,dire\,niente} \\   Se\,\,\sum{{{b}_{n}}=\infty \,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\sum{{{a}_{n}}=\infty }}\,\, \\ \end{cases} $

SERIE NOTEVOLI

Serie armonica generalizzata:

$\sum_{n=0}^{\infty }{\frac{1}{{n^{\alpha }}}}=\begin{cases} <\infty \,\,\,se\,\,\,\,\alpha >1 \\ +\infty \,\,\,\,se\,\,\,\alpha \le 1 \\\end{cases} $

$\sum_{n=2}^{\infty }{\frac{1}{n{{\left( \log n \right)}^{\alpha }}}}=\begin{cases} <\infty \,\,\,se\,\,\,\,\alpha >1 \\ +\infty \,\,\,\,se\,\,\,\alpha \le 1 \\\end{cases} $

CRITERIO DELLA RADICE

Se  $\sqrt[n]{{{a}_{n}}}\,\to \,\beta \,\,\in \,\,\mathbb{R}\,\cup \,+\infty $  allora:

$se\,\,\,\left| \beta  \right|>1\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\sum{{{a}_{n}}}=\,+\infty $

$se\,\,\,\left| \beta  \right|<1\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\sum{{{a}_{n}}\,\,<\infty }$

$\,se\,\,\left| \beta  \right|=1\,\,\,\,\Rightarrow \,$  Non si può concludere nulla in base al criterio della radice.

CRITERIO DEL RAPPORTO

Se $\frac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{n}}}\,\to \,\beta \,\in \,\,\mathbb{R}\,\cup \,+\infty $ allora:

$se\,\,\,\left| \beta  \right|>1\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\sum{{{a}_{n}}}=\,+\infty $

$se\,\,\,\left| \beta  \right|<1\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\sum{{{a}_{n}}\,\,<\infty }$

$\,se\,\,\left| \beta  \right|=1\,\,\,\,\Rightarrow \,$  Non si può concludere nulla in base al criterio della radice.

CRITERIO DI CONDENSAZIONE

La serie $\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{a}_{n}}}$ converge se e solo se converge la serie $\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{{{2}^{n}}{{a}_{{{2}^{n}}}}}$

CRITERI DI CONVERGENZA PER SERIE A SEGNI ALTERNI

CRITERIO DELL’ASSOLUTA CONVERGENZA

$\begin{cases} \text{se } \sum{\left| a_{n} \right|}<\infty \Rightarrow \sum{a_{n}}<\infty \\\text{se } \sum{\left| a_{n} \right|}>\infty \Rightarrow \text{non si può concludere nulla} \end{cases}$

SERIE DI LEIBENITZ

$\sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{\left( -1 \right)}^{n}}{{\alpha }_{n}}\,\,\,}$

Converge se:

$\begin{cases} (i) \quad \alpha_{n} \geq 0 \quad \forall n > n_{1} \\(ii) \quad \alpha_{n} \to 0 \\(iii) \quad \alpha_{n+1} \leq \alpha_{n} \quad \forall n > n_{2} \quad (\text{successione debolmente decrescente}) \\\end{cases}$

La seconda condizione corrisponde alla condizione necessaria e quindi se non è verificata la serie diverge. Se le altre due non sono verificate allora non si può concludere nulla.

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