Formulario Successioni

SUCCESSIONI

“Definitivamente” per una successione significa “da un certo n in poi”

TEOREMA DEL CONFRONTO

CONFRONTO A 2

Se ${{a}_{n}}\le {{b}_{n}}\,\,\,$definitivamente, allora si verifica che:

\(\,\,\left\{ \begin{align}& se\,\,\,{{a}_{n}}\to \infty \,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,{{b}_{n}}\to \infty  \\& se\,\,\,{{b}_{n}}\to -\infty \,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\,\,{{a}_{n}}\to -\infty  \\\end{align} \right.\)

TEOREMA DEI CARABINIERI (CONFRONTO A 3)

Se \({{a}_{n}}\le {{b}_{n}}\le {{c}_{n}}\,\) se \({{a}_{n}}\to l\,\,\,e\,\,\,{{c}_{n}}\to l\)  \(\Rightarrow\)  \({{b}_{n}}\to l\)

TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO

Se \({{a}_{n}}\to \,\,l>0\)   allora \({{a}_{n}}>0\)  definitivamente

Se \({{a}_{n}}\to \,\,l<0\)   allora \({{a}_{n}}<0\)  definitivamente

CRITERIO DELLA RADICE

Se \(\sqrt[n]{{{a}_{n}}}\to l\in \mathbb{R}\cup \left\{ +\infty  \right\}\,\,\,\), allora si verifica che:

\(se\,\,l>1\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,{{a}_{n}}\to \infty \)

\(se\,\,l<1\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,{{a}_{n}}\to 0\)

\(se\,\,\,l=1\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \) non si può trarre nessuna conclusione sul limite della successione

CRITERIO DEL RAPPORTO

Se \(\frac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{n}}}\to l\in \mathbb{R}\cup \left\{ +\infty  \right\}\), allora si verifica che:

\(se\,\,l>1\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,{{a}_{n}}\to \infty \)

\(se\,\,l<1\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,{{a}_{n}}\to 0\)

\(se\,\,\,l=1\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \) non si può trarre nessuna conclusione sul limite della successione

 CRITERIO DEL RAPPORTO-RADICE

\(\frac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{n}}}\to l\,\,\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\sqrt[n]{{{a}_{n}}}\to l\)

FORMULA DI STIRLING

Approssimazione asintotica per il fattoriale:

\(n!\underset{n\to +\infty }{\mathop{\sim }}\,{{n}^{n}}{{e}^{-n}}\sqrt{2\pi n}\)

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