In questa lezione andiamo ad occuparci di Funzioni reali e successioni e vediamo una serie di definizioni che sono alla base dell’analisi matematica e di numerose applicazioni dall’ingegneria alla fisica.

Definizione di funzione

Diamo per prima cosa una definizione di funzione tra due insiemi. Dati due insiemi \(A\) e \(B\)  si definisce funzione tra i due insiemi \(f:A\to B\) una qualche relazione che lega a ciascun elemento dell’insieme \(A\) uno ed un solo elemento dell’insieme \(B\).

Funzioni reali

Parliamo di funzioni reali quando l’insieme di partenza e di arrivo \(A\) e \(B\) sono insiemi reali. In questo caso una buona rappresentazione insiemistica si ottiene utilizzando il piano cartesiano. \(y=f\left( x \right)\) associa a ciascun punto dell’asse x uno ed un solo valore dell’asse y.

Il piano cartesiano viene utilizzato per rappresentare graficamente molte situazioni in ambito matematico, dipende dal significato che si da ai due assi. Un asse cartesiano rappresenta una retta su cui sono presenti tutti i numeri reali. Ciascun asse rappresenta un insieme di numeri reali ed in particolare ogni punto del grafico della funzione, rappresenta una relazione tra l’asse delle x (ascissa) e l’asse delle y (ordinata). Il grafico di una funzione nel piano cartesiano è una rappresentazione grafica di una relazione tra due insiemi.

Naturalmente il piano cartesiano non è usato esclusivamente per rappresentare funzioni, ma può essere usato per rappresentare curve (leggi orarie, usate nella fisica per graficare la traiettoria di un punto materiale che si muove in un piano), luoghi geometrici di punti (come avviene per la geometria analitica), oppure per rappresentare i numeri complessi (in questo caso ascissa e ordinata rappresentano rispettivamente parte reale e parte immaginaria di un numero complesso).

I punti del piano cartesiano si chiamano vettori e perciò il piano cartesiano è allo stesso tempo uno spazio vettoriale (ovvero uno spazio in cui è possibile rappresentare vettori).

Il grafico di una funzione rappresenta allo stesso tempo una relazione tra due insiemi e un luogo geometrico di punti. Questo mette in relazione il concetto di funzione con la geometria analitica. In particolare, alcune funzioni particolari possono descrivere rette, parabole, parte di ellissi o circonferenze, iperboli ed avere quindi una forma geometrica classificabile come conica (la parola conica ha a che fare con il cono e c’è un motivo ben preciso: una conica altro non è che il taglio di un cono con un piano).

Questo ragionamento fa capire come le varie discipline della matematica si uniscono tra di loro ed è possibile vedere cose uguali da punti di vista diversi. A volte basta cambiare il punto di vista e tutto diventa più semplice.

Dominio di una funzione reale

Data una funzione reale \(f:A\to B\), il dominio\(D\) di \(f\) è il più ampio sottoinsieme di A per cui ad ogni elemento di \(D\) è possibile associare un valore di \(B\). Quando nella definizione di funzione troviamo tutto l’asse dei reali \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) allora si parla di dominio naturale.

Immagine o codominio di una funzione reale

Si definisce immagine di una funzione reale. L’insieme dei valori raggiunti dalla funzione stessa e si scrive \(B=f\left( A \right)\) dove in genere con \(A\) si indica il dominio.
\(B\) è un insieme reale.

Estremanti ed estremi di una funzione reale

Quando si parla di massimo e minimo di una funzione oppure estremo superiore ed inferiore ci si riferisce all’insieme immagine. Quindi possiamo scrivere:
\(\max f=\max f(A)=\max B\)
\(\sup f=\sup f(A)=\sup B\)
\(\min f=\min f(A)=\min B\)
\(\inf f=\inf f(A)=\inf B\)

Massimi e minimi relativi e assoluti

Quando non è specificato per massimo e minimo di una funzione si intendono il massimo assoluto e il minimo assoluto. Quindi massimo e minimo assoluto rappresentano il massimo e minimo riferito all’insieme immagine della funzione. Adesso però andiamo a ridefinirlo con una scrittura diversa ma totalmente equivalente.

Massimo relativo

Definizione di massimo relativo o massimo locale: Diciamo che il punto \({{P}_{0}}=\left( {{x}_{0}},f\left( {{x}_{0}} \right) \right)\)è un punto di massimo relativo se \(\exists \delta >0\,\,:\,\,\,\,f\left( x \right)\le f\left( {{x}_{0}} \right)\,\,\,\,\)\(\forall x\in \left( {{x}_{0}}-\delta ,{{x}_{0}}+\delta  \right)\). Ovvero se posso costruire un intorno del punto \({{x}_{0}}\) all’interno del quale la funzione assume il valore più alto proprio in corrispondenza di \({{x}_{0}}\).

Minimo relativo

Definizione di minimo relativo o minimo locale: Diciamo che il punto \({{P}_{0}}=\left( {{x}_{0}},f\left( {{x}_{0}} \right) \right)\)è un punto di minimo relativo se \(\exists \delta >0\,\,:\,\,\,\,f\left( x \right)\ge f\left( {{x}_{0}} \right)\,\,\,\,\)\(\forall x\in \left( {{x}_{0}}-\delta ,{{x}_{0}}+\delta  \right)\). Ovvero se posso costruire un intorno del punto \({{x}_{0}}\) all’interno del quale la funzione assume il valore più basso proprio in corrispondenza di \({{x}_{0}}\).

Massimo assoluto e minimo assoluto di una funzione reale

Definizione di massimo assoluto o massimo globale: Sia \(f\left( x \right)\) una funzione reale con \(f:A\to B\),  diremo che il punto \({{P}_{0}}=\left( {{x}_{0}},f\left( {{x}_{0}} \right) \right)\)è un punto di massimo assoluto se \(\forall x\in A,\,\,f\left( x \right)\le f\left( {{x}_{0}} \right)\)
Praticamente è il valore massimo più grande che la funzione assume sul proprio dominio e questo punto non è detto che esista.
Definizione di minimo assoluto o minimo globale: Sia \(f\left( x \right)\) una funzione reale con \(f:A\to B\),  diremo che il punto \({{P}_{0}}=\left( {{x}_{0}},f\left( {{x}_{0}} \right) \right)\)è un punto di minimo assoluto se \(\forall x\in A,\,\,f\left( x \right)\ge f\left( {{x}_{0}} \right)\)

Controimmagine di una funzione reale

Si definisce controimmagine di \(y\in R\) quel valore o quei valori di \(x\in D\) tali che \(f\left( x \right)=y\). Un valore reale può ammettere più di una o nessuna controimmagine. Mentre l’immagine di un numero reale è al più una. Diciamo che \(x\) ammette immagine se appartiene al dominio, mentre \(y\) ammette controimmagine se appartiene al codominio o insieme immagine.

Simmetrie di una funzione: funzioni pari e dispari

Una funzione \(f:A\to B\) si dice a simmetria pari se risulta simmetrica rispetto all’asse y e si ha se \(f\left( x \right)=f\left( -x \right)\,\,\,\,\,\forall x\in A\)

Una funzione si dice a simmetria dispari se risulta simmetrica rispetto all’origine degli assi e si ha se \(f\left( x \right)=-f\left( -x \right)\,\,\,\,\,\forall x\in A\)

Funzioni periodiche

Una funzione si dice periodica di periodo \(T\) se \(f\left( x+T \right)=f\left( x \right)\,\,\,\,\,\forall x\in \mathbb{R}\).
Se una funzione è periodica di periodo \(T\), lo è anche di qualsiasi multiplo del periodo. Per questa ragione, si definisce periodo principale, il più piccolo periodo che è possibile definire per la funzione.
Più in generale si può scrivere\(f\left( x+nT \right)=f\left( x \right)\,\,\,\,\forall n\in \mathbb{Z}\,\,\forall x\in \mathbb{R}\)

Una funzione periodica può essere scritta come la periodicizzazione di una funzione definita solo su un intervallo di lunghezza \(T\) .
\(f\left( x \right)=\,\,\sum\limits_{n=-\infty }^{+\infty }{{{f}_{0}}\left( x+nT \right)}\)
Sono esempio di funzioni periodiche, le funzioni trigonometriche. Abbiamo il seno e coseno che sono funzioni di periodo \(T=2\pi \) e la funzione tangente che invece è periodica di periodo \(T=\pi \).

Funzioni monotone

Una funzione si dice monotona strettamente crescente in \(\left[ a,b \right]\) se \(\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left[ a,b \right]\) , se \({{x}_{2}}>{{x}_{1}}\,\Rightarrow \,f\left( {{x}_{2}} \right)>f\left( {{x}_{1}} \right)\)
Una funzione si dice monotona debolmente crescente in \(\left[ a,b \right]\) se \(\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left[ a,b \right]\) , se \({{x}_{2}}>{{x}_{1}}\,\Rightarrow \,f\left( {{x}_{2}} \right)\ge f\left( {{x}_{1}} \right)\)
Una funzione si dice monotona strettamente decrescente in \(\left[ a,b \right]\) se \(\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left[ a,b \right]\) , se \({{x}_{2}}>{{x}_{1}}\,\Rightarrow \,f\left( {{x}_{2}} \right)<f\left( {{x}_{1}} \right)\)
Una funzione si dice monotona debolmente decrescente in \(\left[ a,b \right]\) se \(\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left[ a,b \right]\) , se \({{x}_{2}}>{{x}_{1}}\,\Rightarrow \,f\left( {{x}_{2}} \right)\le f\left( {{x}_{1}} \right)\)

Funzione iniettiva

Una funzione \(f:A\to B\)  si dice iniettiva se\(\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in A,\,\,{{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}\,\,\,\Rightarrow \)\(\,\,f\left( {{x}_{1}} \right)\ne f\left( {{x}_{2}} \right)\), ovvero se ogni elemento dell’insieme di arrivo è raggiunto non più di una volta.

Funzione suriettiva

Una funzione \(f:A\to B\)  si dice suriettiva se \(f\left( A \right)=B\), ovvero se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A. Ogni elemento dell’insieme di arrivo è raggiunto almeno una volta.

Funzione biettiva o biunivoca

Una funzione \(f:A\to B\)  si dice biunivoca (o biettiva) se è sia inettiva che suriettiva. Ogni elemento dell’insieme di arrivo è raggiunto esattamente una volta.

Funzione invertibile

Una funzione \(f:A\to B\)  si dice invertibile se ammette funzione inversa \({{f}^{-1}}:B\to A\) . La funzione inversa è quella funzione che associa a ciascun elemento \(y\in B\) la corrispondente controimmagine in \(x\in A\), con \(x={{f}^{-1}}\left( y \right)\) .
Una funzione è invertibile se ogni elemento di \(B\) ammette esattamente una controimmagine e ciò accade quando funzione è biunivoca. Quindi si può dire che una funzione è invertibile se e solo se è biunivoca.

funzione inversa

Vediamo un esempio su come si costruisce una funzione inversa:
Sia \(f\left( x \right)=2+3x\) , vogliamo costruire la funzione inversa.
Innanzi tutto osserviamo che la funzione in questione è una retta quindi si tratta di una funzione sia iniettiva che suriettiva, quindi biunivoca e quindi invertibile.
Per costruire la funzione inversa \(y=2+3x\), dobbiamo cercare di esplicitare la funzione rispetto a y, e otteniamo \(x=\frac{y-2}{3}\)  a questo punto scambiamo le x con le y \(y=\frac{x-2}{3}\) e in questo modo abbiamo costruito la funzione inversa \({{f}^{-1}}\left( x \right)=\frac{x-2}{3}\).

limitare gli insiemi per ottenere una funzione invertibile

Per determinare la funzione inversa talvolta è necessario limitare l’insieme di partenza o di arrivo in modo da rendere la funzione biunivoca.
Ad esempio se si vuole invertire la funzione parabola \(y=f\left( x \right)={{x}^{2}}\) , si nota subito che la funzione \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}_{0}^{+}\) non è invertibile in quanto non è iniettiva. D’altronde si avrebbe \(x=\pm \sqrt{y}\) che non rappresenta una funzione in quanto associa a ciascun valore di \(y\) una coppia di valori, e non uno ed un solo valore.

Per renderla iniettiva possiamo limitare il dominio \(f:\mathbb{R}_{0}^{+}\to \mathbb{R}_{0}^{+}\)e in tal caso la funzione inversa diventa \(y={{f}^{-1}}\left( x \right)=+\sqrt{x}\)

Oppure possiamo limitare il dominio \(f:\mathbb{R}_{0}^{-}\to \mathbb{R}_{0}^{+}\)e in tal caso la funzione inversa diventa \(y={{f}^{-1}}\left( x \right)=-\sqrt{x}\)

Logaritmo funzione inversa dell’esponenziale

Il logaritmo, funzione inversa della funzione esponenziale
L’inversa della funzione esponenziale è il logaritmo.
La funzione esponenziale è così definita\(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\)  con \(f\left( x \right)={{e}^{x}}\). Essa non è invertibile perché è iniettiva ma non suriettiva
Per renderla invertibile bisogna limitare l’insieme di arrivo e si ottiene \(f:\mathbb{R}\to {{\mathbb{R}}^{+}}\)
Così la funzione inversa sarà: \({{f}^{-1}}:{{\mathbb{R}}^{+}}\to \mathbb{R}\) con\({{f}^{-1}}\left( x \right)=\ln x\)

Funzioni trigonometriche inverse

Arcocoseno funzione inversa del coseno

La funzione coseno è una funzione periodica quindi non è invertibile.
Per definire la funzione inversa del coseno\(y=\arccos x\)bisogna limitare opportunamente gli insiemi di partenza e di arrivo della funzione in questo modo: \(f:\left[ 0,\pi  \right]\to \left[ -1,1 \right]\) con \(f\left( x \right)=\cos x\)
Con queste limitazioni la funzione diventa biunivoca quindi invertibile.
\({{f}^{-1}}:\left[ -1,1 \right]\to \left[ 0,\pi  \right]\) con\({{f}^{-1}}\left( x \right)=\arccos x\)

Arcoseno funzione inversa del seno

– L’inversa del seno è la funzione\(\arcsin x\) .
La funzione coseno è una funzione periodica quindi non è invertibile. Per definire la funzione \(\arcsin x\)bisogna limitare opportunamente gli insiemi di partenza e di arrivo della funzione in questo modo: \(f:\left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right]\to \left[ -1,1 \right]\) con \(f\left( x \right)=\cos x\)
Con queste limitazioni la funzione diventa biunivoca e quindi invertibile.
\({{f}^{-1}}:\left[ -1,1 \right]\to \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right]\) con\({{f}^{-1}}\left( x \right)=\arcsin x\)

Arcotangente funzione inversa della tangente

– L’inversa della tangente è \(\arctan x\) .
La funzione tangente è una funzione periodica quindi non è invertibile.
Per definire la funzione \(\arctan x\)bisogna limitare opportunamente gli insiemi di partenza e di arrivo della funzione in questo modo: \(f:\left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right]\to \mathbb{R}\) con \(f\left( x \right)=\tan x\)
Con queste limitazioni la funzione diventa biunivoca e quindi invertibile.
\({{f}^{-1}}:\mathbb{R}\to \left[ -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right]\) con\({{f}^{-1}}\left( x \right)=\arctan x\)

Funzioni composte

Siano \(f:X\to Y\) e \(g:Y\to Z\)due funzioni reali, la funzione \(f\circ g:X\to Z\)è la composizione delle due funzioni.
\(z=f\left( g\left( x \right) \right)\)    (cioè l’argomento della \(f\) è ancora una funzione)
Esempio:
\(f\left( y \right)=\cos y\)e\(g\left( x \right)={{e}^{x+1}}\)
La composizione tra f e g  (\(f\circ g\) )               \(f\left( g\left( x \right) \right)=\cos \left( {{e}^{x+1}} \right)\)
La composizione tra f e g   (\(g\circ f\) )               \(g\left( f\left( x \right) \right)={{e}^{\cos x+1}}\)

Successioni reali

Le successioni sono un tipo particolare di funzioni reali che hanno come insieme di partenza i numeri naturali \({{a}_{n}}=f(n),\,\,\,\,f:\mathbb{N}\to \mathbb{R}\). A volte le successioni vengono definite come funzioni discrete. Esiste una branca della matematica che studia come ricostruire funzioni a partire da una serie di campioni. L’operazione di ricostruire una funzione a partire dai suoi campioni prende il nome di interpolazione.

Talvolta vedremo che è possibile costruire un insieme reale come l’insieme immagine di una successione.
L’insieme costituito da \({{\left\{ {{a}_{n}} \right\}}_{n\in \mathbb{N}}}\) è l’insieme dei valori che si ottengono dalla successione al variare di \(n\). Per esempio sia \({{a}_{n}}=\sin \left( n \right)\) , si può scrivere che\({{\left\{ {{a}_{n}} \right\}}_{n\in \mathbb{N}}}=\left\{ \sin 1,\sin 2,\sin 3,… \right\}\)