Argomenti trattati per l’esame di Analisi Matematica 1

• Insiemi reali e topologia sull’asse dei reali
• L’insieme dei numeri complessi
• Limiti (Taylor, limiti notevoli, De L’Hopital, gerarchia degli infiniti, limiti di successioni) e comportamenti asintotici di funzioni reali
• Continuità e derivabilità di funzioni
• Studio di funzioni con tecniche convenzionali
• Studio di funzioni in maniera non convenzionale
• Integrali indefiniti e definiti
• Studio della convergenza di integrali impropri
• Serie numeriche
• Studio della convergenza di serie parametriche
• Dimostrazioni e principio di induzione

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Argomenti trattati per l’esame di Analisi Matematica 2

• Continuità, derivabilità e differenziabilità per funzioni reali o complesse in più variabili
• Studio di funzioni in più variabili.
• Rappresentazione di insiemi in due e tre dimensioni.
• Studio dei punti critici in più variabili (massimi, minimi e punti di Sella)
• Ricerca di massimo e minimo di una funzione di più variabili su insiemi.
• Ottimizzazione vincolata (moltiplicatori di Lagrange)
• Studio e rappresentazione cartesiana di curve e superfici
• Campi vettoriali
• Integrali doppi e tripli
• Integrali di linea di prima e seconda specie 
• Integrali di superficie di prima e seconda specie
• Teoremi di Gauss-Green
• Teoremi di Pappo-Guldino
• Teorema di Stockes in tutte le sue forme
• Massa, baricentro e momento di inerzia di un solido
• Successioni di funzioni
• Serie di funzioni
• Serie di potenze
• Sviluppo in serie di Fourier di funzioni
• Trasformata di Fourier

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Argomenti trattati per l’esame di Teoria dei segnali

Segnali determinati

• Definizioni e proprietà elementari dei segnali, potenza ed energia normalizzate.
• Segnali notevoli. 
• Segnali generalizzati: la funzione delta di Dirac (impulso unitario) e sue proprietà.
• I sistemi: trasformazioni elementari, sistemi tempo invarianti, lineari, con e senza memoria, causali e non, sistemi stabili.
• I sistemi lineari tempo invarianti (LTI): risposta all’impulso unitario e suo uso.
• La convoluzione. 
• Sistemi LTI stabili e causali.
•  Sistemi LTI in cascata e in parallelo.
•  Equalizzatori. Schemi a blocchi.
• Richiami sui numeri complessi e funzioni complesse di variabile reale: l’esponenziale complesso e il suo significato.
• Risposta dei sistemi LTI alle sinusoidi e alle somme di esponenziali complessi.
• Risposta in frequenza di sistemi LTI. 
• Sviluppo in serie di Fourier di segnali periodici.
• La trasformata di Fourier (TdF) di segnali non periodici. 
• Proprietà della TdF e TdF notevoli.
• Densità spettrale di energia. 
• Il passaggio di segnali periodici e non periodici attraverso i sistemi LTI. 
• I filtri ideali, i filtri reali, banda. 
• Sistemi non distorcenti e distorsioni.
• Campionamento: campionamento mediante impulsi di Dirac (campionamento ideale).
•  teorema del campionamento
•  filtro di ricostruzione 
• Il problema dell’aliasing, campionamento a mantenimento (sample & hold), filtro di ricostruzione compensato.

Teoria della probabilità e delle variabili aleatorie

• Richiami di teoria degli insiemi: assiomi di teoria della probabilità e conseguenze.
• Elementi di calcolo combinatorio. 
• Probabilità condizionata, teorema della probabilità totale e formula di Bayes. 
• Prove ripetute.
• Variabili aleatorie: introduzione al concetto di funzione di densità di probabilità.
• Definizione formale della funzione densità di probabilità e della funzione di distribuzione cumulativa.
• Variabili aleatorie continue e discrete. 
• Variabili notevoli.
• Trasformazioni di una singola variabile aleatoria e teorema fondamentale.
• Valor medio e teorema dell’aspettazione. 
• Momenti. 
• Formula di Bayes mista e versione continua del teorema delle probabilità totali.
• Coppie di variabili aleatorie e funzioni di coppie di variabili aleatorie.
• Estensione del teorema della media.
• Densità di probabilità condizionate da altre v.a. ed estensioni del teorema della probabilità totale e della formula di Bayes.
• Estensioni a vettori di n variabili aleatorie.
• Correlazione. 
• Indipendenza e Incorrelazione. 
• Interpretazione statistica di correlazione e covarianza.
• Vettori gaussiani e loro proprietà.

Processi stocastici

• Definizioni, funzione di distribuzione e densità di probabilità dei processi stocastici, valor medio, funzione di autocorrelazione e autocovarianza.
• Processi stazionari in senso stretto e in senso lato.
• Densità spettrale di potenza e sue proprietà.
• Il rumore bianco.
• Filtraggio di processi stazionari.
•  Processi Gaussiani e loro filtraggio. 
• Processi ergodici.