11. Integrale triplo svolto su insieme a forma conica in coordinate polari
$\iiint\limits_{A}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}dxdydz}$ , $A=\{ (x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le {{z}^{2}},-1\le z\le 2 \}$
Continua a leggere l’integrale triplo svolto.
L’insieme di integrazione è dato dal volume compreso tra due falde di un cono limitate dai piani z=2 e z=-1.
Per lo svolgimento di questo integrale facciamo il passaggio in coordinate cilindriche.
$ \begin{cases} x = \rho \cos \theta \\ y = \rho \sin \theta \\ z = z \end{cases} $
Dove:
– $\rho$ rappresenta la distanza radiale del punto dall’asse $z$,
– $\theta$ è l’angolo azimutale misurato dal semiasse positivo $x$ nel piano $xy$,
– $z$ è l’altezza del punto lungo l’asse $z$.
L’insieme in coordinate cilindriche diventa:
${A}’=\{ (\rho ,\theta ,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,z\ge 0,\rho \le | z |,-1\le z\le 2,\,0\le \theta \le 2\pi \, \}$
Passaggio a coordinate cilindriche nell’integrale
Facciamo il cambio di coordinate nell’integrale ricordando di moltiplicare la funzione integranda per il modulo del determinante della matrice Jacobiana.
$\iiint\limits_{A}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}dxdydz}=$
$\iiint\limits_{{{A}’}}{( {{\rho }^{2}}+{{z}^{2}} )\rho d\rho d\theta dz}=$
Per tener conto del modulo della z nella funzione integranda è necessario spezzare l’integrale triplo nella somma di due integrali.
$\iiint\limits_{{{A}’}}{( {{\rho }^{2}}+{{z}^{2}} )\rho d\rho d\theta dz}=\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{z=0}^{2}{\int\limits_{\rho =0}^{z}{( {{\rho }^{2}}+{{z}^{2}} )\rho d\rho }dz}d\theta }+\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{z=-1}^{0}{\int\limits_{\rho =0}^{-z}{( {{\rho }^{2}}+{{z}^{2}} )\rho d\rho }dz}d\theta }$
Risolviamo gli integrali singolarmente, spezzandoli a loro volta nella somma di due integrali tripli.
$\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{z=0}^{2}{\int\limits_{\rho =0}^{z}{( {{\rho }^{2}}+{{z}^{2}} )\rho d\rho }dz}d\theta }=$
$\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{z=0}^{2}{\int\limits_{\rho =0}^{z}{{{\rho }^{3}}d\rho }dz}d\theta }+\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{z=0}^{2}{{{z}^{2}}\int\limits_{\rho =0}^{z}{\rho d\rho }dz}d\theta }$
Risolviamo il primo integrale triplo
$\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{z=0}^{2}{\int\limits_{\rho =0}^{z}{{{\rho }^{3}}d\rho }dz}d\theta }=$
$2\pi \int\limits_{z=0}^{2}{[ \frac{{{\rho }^{4}}}{4} ]_{0}^{2}dz}=$ $2\pi \int\limits_{z=0}^{2}{\frac{{{z}^{4}}}{4}dz}=$ $\pi \int\limits_{z=0}^{2}{\frac{{{z}^{4}}}{2}dz}=$
$\pi [ \frac{{{z}^{5}}}{10} ]_{0}^{2}=\frac{16}{5}\pi $
Risolviamo il secondo.
$\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{z=0}^{2}{{{z}^{2}}\int\limits_{\rho =0}^{z}{\rho d\rho }dz}d\theta }=$
$\pi \int\limits_{z=0}^{2}{\frac{{{z}^{4}}}{2}dz}=$
$\pi \int\limits_{z=0}^{2}{{{z}^{4}}dz}=$
$\pi [ \frac{{{z}^{5}}}{5} ]_{0}^{2}=$ $\frac{32}{5}\pi $
Spezziamo l’integrale triplo $\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{z=-1}^{0}{\int\limits_{\rho =0}^{-z}{( {{\rho }^{2}}+{{z}^{2}} )\rho d\rho }dz}d\theta }$ nella somma di due integrali tripli.
$\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{z=-1}^{0}{\int\limits_{\rho =0}^{-z}{( {{\rho }^{2}}+{{z}^{2}} )\rho d\rho }dz}d\theta }=$
$\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{z=-1}^{0}{\int\limits_{\rho =0}^{-z}{{{\rho }^{3}}d\rho }dz}d\theta }+\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{z=-1}^{0}{{{z}^{2}}\int\limits_{\rho =0}^{-z}{\rho d\rho }dz}d\theta }$
Risolviamo il primo integrale triplo.
$\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{z=-1}^{0}{\int\limits_{\rho =0}^{-z}{{{\rho }^{3}}d\rho }dz}d\theta }=$
$2\pi \int\limits_{z=-1}^{0}{[ \frac{{{\rho }^{4}}}{4} ]_{0}^{-z}dz}=$
$2\pi \int\limits_{z=-1}^{0}{\frac{{{z}^{4}}}{4}dz}=$
$\pi \int\limits_{z=-1}^{0}{\frac{{{z}^{4}}}{2}dz}=$
$\pi [ \frac{{{z}^{5}}}{10} ]_{-1}^{0}=\frac{1}{10}\pi $
Risolviamo il secondo integrale triplo.
$\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{z=-1}^{0}{{{z}^{2}}\int\limits_{\rho =0}^{-z}{\rho d\rho }dz}d\theta }=$
$2\pi \int\limits_{z=-1}^{0}{\frac{{{z}^{4}}}{2}dz}=$
$\pi \int\limits_{z=-1}^{0}{{{z}^{4}}dz}=$
$\pi [ \frac{{{z}^{5}}}{5} ]_{-1}^{0}$
$=\frac{1}{5}\pi $
Sommiamo i quattro risultati che ci sono venuti e otteniamo così il risultato finale.
$\iiint\limits_{A}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}dxdydz}=$
$\frac{16}{5}\pi +\frac{32}{5}\pi +\frac{1}{10}\pi +\frac{1}{5}\pi =\frac{99}{100}\pi $
Possiamo concludere che il risultato dell’integrale triplo è $\frac{99}{100}\pi $