12. Integrale triplo con valore assoluto su volume di forma conica
$\iiint\limits_{A}{| {{x}^{2}}-{{y}^{2}} |dxdydz}$ , $A=\{ (x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,0\le z\le 2-\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \}$
Continua a leggere la soluzione dell’ integrale triplo su volume di forma conica.
Il volume è rappresentato da un cono rovesciato, con vertice sull’asse z e a quota z=2 e con asse di simmetria coincidente con asse z.
Usiamo per questo integrale triplo un cambio di coordinate da cartesiane a cilindriche,
Le equazioni che esprimono le coordinate cilindriche nello spazio sono:
$ \begin{cases} x = \rho \cos \theta \\ y = \rho \sin \theta \\ z = z \end{cases} $
$A=\{ (x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,0\le z\le 2-\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \}$
L’insieme di integrazione diventa in coordinate cilindriche:
${A}’=\{ (\rho ,\theta ,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:0\le z\le 2-\rho ,\,0\le \rho \le 2,-\pi \le \theta \le \pi \, \}$
La funzione integranda è racchiusa all’interno di un valore assoluto, dobbiamo capire dove la funzione integranda è positiva, per capire come dividere l’integrale.
${{x}^{2}}-{{y}^{2}}\ge 0$
${{y}^{2}}\le {{x}^{2}}$
$-| x |\le y\le | x |$
Soluzione grafica nel piano $x,y$
Osserviamo a questo punto che l’insieme di integrazione come la funzione integranda sono formati da quattro blocchi simmetrici. Pertanto, l’integrale può essere calcolato integrando solo sull’insieme di integrazione ${A}”=\{ (\rho ,\theta ,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:0\le z\le 2-\rho ,\,0\le \rho \le 2,-\frac{\pi }{4}\le \theta \le \frac{\pi }{4}\, \}$ e poi moltiplicando il risultato per 4.
$\iiint\limits_{A}{| {{x}^{2}}-{{y}^{2}} |dxdydz}=$
$\iiint\limits_{{{A}’}}{| {{\rho }^{2}}{{\cos }^{2}}\theta -{{\rho }^{2}}{{\sin }^{2}}\theta |\cdot \rho \cdot d\rho d\theta dz}=$
$4\cdot \iiint\limits_{{{{A}’}’}}{{{\rho }^{3}}( {{\cos }^{2}}\theta -{{\sin }^{2}}\theta )\cdot d\rho d\theta dz}=$
Applichiamo la formula di duplicazione del coseno nella funzione integranda
$4\cdot \iiint\limits_{{{{A}’}’}}{{{\rho }^{3}}\cos ( 2\alpha )\cdot d\rho d\theta dz}=$
Scriviamo gli estremi di integrazione e calcoliamo il risultato dell’integrale.
$4\int\limits_{\theta =-\pi /4}^{\pi /4}{\cos ( 2\alpha )\int\limits_{\rho =0}^{2}{{{\rho }^{3}}\int\limits_{z=0}^{2-\rho }{dz}d\rho }d\theta }=$
$4\int\limits_{\theta =-\pi /4}^{\pi /4}{\cos ( 2\alpha )\int\limits_{\rho =0}^{2}{{{\rho }^{3}}( 2-\rho )d\rho }d\theta }=$
$4\int\limits_{\theta =-\pi /4}^{\pi /4}{\cos ( 2\alpha )d\theta }\cdot \int\limits_{\rho =0}^{2}{2{{\rho }^{3}}-{{\rho }^{4}}d\rho }=$
$2[ \sin ( 2\alpha ) ]_{-\pi /4}^{\pi /4}\cdot [ \frac{1}{2}{{\rho }^{4}}-\frac{1}{5}{{\rho }^{5}} ]_{0}^{2}=2\cdot 2\cdot \frac{8}{5}$
$=\frac{32}{5}$
Possiamo concludere che il risultato dell’integrale è $\frac{32}{5}$.