13. Integrale triplo svolto in coordinate polari
$\iiint\limits_{A}{zdxdydz}$ , $A=\{ (x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,2{{x}^{2}}-1\le z\le {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \}$
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La sezione del solido rappresentato dall’insieme di integrazione, ottenuta fissando z è una superficie compresa tra una parabola ed un’iperbole. Il solido è rappresentato nella seguente figura.
Usiamo il cambio di coordinate che ci fa andare dalle cartesiane alle coordinate cilindriche.
Le equazioni che esprimono le coordinate cilindriche nello spazio sono:
$ \begin{cases} x = \rho \cos \theta \\ y = \rho \sin \theta \\ z = z \end{cases} $
Passaggio in coordinate cilindriche per l’insieme di integrazione
Facciamo il cambio di variabili nelle espressioni che descrivono l’insieme A.
$\,2{{x}^{2}}-1\le {{x}^{2}}-{{y}^{2}}$
$\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 1$
${{\rho }^{2}}\le 1$
$0\le \rho \le 1$
$2{{\rho }^{2}}{{\cos }^{2}}\theta -1\le z\le {{\rho }^{2}}{{\cos }^{2}}\theta -{{\rho }^{2}}{{\sin }^{2}}\theta $
$2{{\rho }^{2}}{{\cos }^{2}}\theta -1\le z\le {{\rho }^{2}}{{\cos }^{2}}\theta -{{\rho }^{2}}{{\sin }^{2}}\theta $
$2{{\rho }^{2}}{{\cos }^{2}}\theta -1\le z\le {{\rho }^{2}}\cos ( 2\theta )$
Per quanto riguarda θ non ci sono condizioni e quindi resta limitato tra 0 e 2π.
Dopo aver fatto i passaggi algebrici si ottiene l’insieme A in coordinate polari:
${A}’=\{ (\rho ,\theta ,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:0\le z\le 2-\rho ,\,0\le \rho \le 2,0\le \theta \le 2\pi \, \}$
Passaggio in coordinate cilindriche nell’integrale
Facciamo il cambio di coordinate nell’integrale triplo ricordandoci di moltiplicare la funzione integranda per il modulo del determinante della matrice Jacobiana.
$\iiint\limits_{A}{zdxdydz}=$
$\iiint\limits_{{{A}’}}{z\cdot \rho \cdot d\rho d\theta dz}=$
Inseriamo gli estremi di integrazione nell’integrale triplo.
$\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{\rho =0}^{1}{\rho \int\limits_{z=2{{\rho }^{2}}{{\cos }^{2}}\theta }^{{{\rho }^{2}}\cos 2\theta }{z\cdot dz}d\rho }d\theta }=$
$\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{\rho =0}^{1}{\rho [ \frac{{{z}^{2}}}{2} ]_{2{{\rho }^{2}}{{\cos }^{2}}\theta }^{{{\rho }^{2}}\cos 2\theta }d\rho }d\theta }=$
$\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{\rho =0}^{1}{\rho [ \frac{{{\rho }^{4}}{{\cos }^{2}}( 2\theta )}{2}-\frac{4{{\rho }^{4}}{{\cos }^{4}}\theta }{2} ]_{{}}^{{}}d\rho }d\theta }=$
$\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{{{\cos }^{2}}( 2\theta )-4{{\cos }^{4}}\theta d\theta \,}\,\cdot \int\limits_{\rho =0}^{1}{\frac{{{\rho }^{5}}}{2}d\rho }=$
Abbiamo ottenuto il prodotto di due integrali in una variabile.
$\int\limits_{\rho =0}^{1}{\frac{{{\rho }^{5}}}{2}d\rho }=[ \frac{{{\rho }^{6}}}{12} ]_{0}^{1}=\frac{1}{12}$
$\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{{{\cos }^{2}}( 2\theta )-4{{\cos }^{4}}\theta d\theta \,}=-2\pi $
A questo punto moltiplicando i due risultati ottenuti otteniamo la soluzione dell’integrale triplo svolto in coordinate polari.
$\iiint\limits_{A}{zdxdydz}=$
$-2\pi \cdot \frac{1}{12}=-\frac{\pi }{6}$
La soluzione dell’integrale triplo svolto in coordinate polari è $-\frac{\pi }{6}$. Continua a navigare sul sito per leggere altri esercizi svolti.
Approfondimento
Può essere un esercizio utile provare a parametrizzare la superficie laterale dell’insieme di integrazione A.
Si riporta una possibile soluzione.
${{\Sigma }_{1}}=( \rho \cos \theta ,\rho \sin \theta ,2{{\rho }^{2}}{{\cos }^{2}}\theta -1 )$ , $0\le \theta \le 2\pi $, $0\le \rho \le 1$
${{\Sigma }_{2}}=( \rho \cos \theta ,\rho \sin \theta ,{{\rho }^{2}}\cos 2\theta )$ , $0\le \theta \le 2\pi $, $0\le \rho \le 1$