9. Esercizio svolto di integrale triplo con metodo della stratificazione
$\iiint\limits_{A}{\frac{x}{{{( y-1 )}^{2}}}dxdydz}$, $A=\{ (x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2y\le 0,x\ge 0,0\le z\le y\le \frac{1}{2}\, \}$
L’insieme di integrazione è costituito da una porzione di cilindro delimitata da alcuni piani.
Per capire come integrare sull’insieme A, proviamo a vedere come è fatta una sezione del solido a una certa quota z. La superficie che si ottiene è quella rappresentata nella figura seguente.
Si tratta di una porzione di cerchio di centro (1,0) e raggio unitario, delimitata da due rette orizzontali.
Conviene descrivere il cerchio come una funzione della variabile y ovvero:$x=\sqrt{2y-{{y}^{2}}}$
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2y\le 0,x\ge 0$
$0\le x\le \sqrt{2y-{{y}^{2}}}$
La condizione $0\le z\le y\le \frac{1}{2}\,$ si divide in due condizioni più semplici:
$0\le z\le y\le \frac{1}{2}\,$
$0\le z\le y$ ,$0\le y\le \frac{1}{2}\,$
A questo punto l’insieme di integrazione diventa:
$A=\{ (x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,0\le y\le \frac{1}{2}\,,\,0\le z\le y,0\le x\le \sqrt{2y-{{y}^{2}}}\, \}$
Torniamo all’integrale principale, poniamo gli estremi di integrazione e facciamo i calcoli:
$\iiint\limits_{A}{\frac{x}{{{( y-1 )}^{2}}}dxdzdy}=$
$\int\limits_{y=0}^{1/2}{\int\limits_{z=0}^{y}{\frac{1}{{{( y-1 )}^{2}}}\int\limits_{x=0}^{\sqrt{2y-{{y}^{2}}}}{xdx}dz}dy}=$
$\int\limits_{y=0}^{1/2}{\frac{1}{{{( y-1 )}^{2}}}\int\limits_{z=0}^{y}{[ \frac{{{x}^{2}}}{2} ]_{0}^{\sqrt{2y-{{y}^{2}}}}dz}dy}=$
$\int\limits_{y=0}^{1/2}{\frac{2y-{{y}^{2}}}{2{{( y-1 )}^{2}}}\int\limits_{z=0}^{y}{dz}dy}=$
$\int\limits_{y=0}^{1/2}{\frac{2y-{{y}^{2}}}{2{{( y-1 )}^{2}}}y\cdot dy}=$
$\int\limits_{y=0}^{1/2}{\frac{2{{y}^{2}}-{{y}^{3}}}{2{{( y-1 )}^{2}}}dy}=$
$\int\limits_{y=0}^{1/2}{-\frac{y}{2}+\frac{1}{2( y-1 )}+\frac{1}{2{{( y-1 )}^{2}}}dy}=$
$[ -\frac{{{y}^{2}}}{4}+\frac{1}{2}\log |y-1|-\frac{1}{2( y-1 )} ]_{0}^{1/2}=$
$\frac{7}{16}-\frac{1}{2}\log 2$
Il risultato dell’integrale triplo è quindi $\frac{7}{16}-\frac{1}{2}\log 2$