Soluzione quesito 1

Soluzione Quesito 1 – Simulazione Seconda prova Maturità scientifica 2 Aprile 2019

Assegnato \(k\in \mathbb{R}\) ,  si consideri la funzione g(x) così definita \(g(x)=\frac{(k-1)x^3+k x^2 – 3}{x-1}\):   .

Come va scelto il valore di \(k\) affinché il grafico di  non abbia asintoti?

Come va scelto il valore di \(k\) affinché il grafico di  abbia un asintoto obliquo?

Giustificare le risposte e rappresentare, nei due casi, i grafici delle funzioni ottenute.

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Soluzione

La funzione in base al suo dominio, ha un potenziale asintoto verticale in x=1 ed uno orizzontale o obliquo per \(x\to \pm \infty\)

\(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( k-1 \right){{x}^{3}}+k{{x}^{2}}-3}{x-1}=\frac{\infty }{\infty }\,\) \(\,\overset{H}{\mathop{=}}\,\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3\left( k-1 \right){{x}^{2}}+2kx}{1}=\pm \infty \) se \(k\ne 0\) \(\Rightarrow\). Sotto la condizione \(k\ne 0\) possiamo affermare che non ci sono asintoti orizzontali

\(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{g(x)}{x}=\) \(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( k-1 \right){{x}^{3}}+k{{x}^{2}}-3}{{{x}^{2}}-x}=\frac{\infty }{\infty }\,\) \(\,\overset{H}{\mathop{=}}\,\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3\left( k-1 \right){{x}^{2}}+2kx}{2x-1}=\frac{\infty }{\infty }\,\) \(\,\overset{H}{\mathop{=}}\,\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{6\left( k-1 \right)x+2k}{2}=\pm \infty \) se \(k\ne 1\)  \(\Rightarrow \) Sotto la condizione \(k\ne 1\) possiamo affermare che non ci sono asintoti obliqui

Per evitare l’asintoto verticale in x=1, dobbiamo cercare un valore di k tale che il numeratore risulta divisibile per il denominatore e quindi dobbiamo fare in modo che x=1 sia una radice del numeratore’:

posto \(h(x)=\left( k-1 \right){{x}^{3}}+k{{x}^{2}}-3\) \(\Rightarrow\) \(h(1)=\left( k-1 \right)+k-3=0\) \(\Rightarrow \) \(k=2\)

Posto k=2, che rispetta anche le condizioni \(k\ne 0\) e \(k\ne 1\) si ha che in x=1, non ci sarà un asintoto verticale ma una discontinuità di terza specie.

\(\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-3}{x-1}=\frac{0}{0}\,\,\overset{H}{\mathop{=}}\,\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{3{{x}^{2}}+4x}{1}=7\)

Affinché la funzione presenti un asintoto obliquo si deve avere che il limite per \(x\to \infty \) di \(\frac{g(x)}{x}\) deve essere finito e non nullo.

Posto k=1 si ha:

\(m=\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{g(x)}{x}=\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-3}{{{x}^{2}}-x}=\frac{\infty }{\infty }\,\) \(\,\overset{H}{\mathop{=}}\,\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2x}{2x-1}=\frac{\infty }{\infty }\,\) \(\,\overset{H}{\mathop{=}}\,\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2}{2}=1\)

\(q=\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,g(x)-x=\) \(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-3}{x-1}-x=\frac{\infty }{\infty }\,\) \(\,\overset{H}{\mathop{=}}\,\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-3+x}{x-1}=\frac{\infty }{\infty }\,\,\) \(\overset{H}{\mathop{=}}\,\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2}{2}=1\)

Con k=1 l’asintoto obliquo è y=x+1

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Soluzione Problema 2 – simulazione seconda prova maturità scientifica 2 Aprile 2019

Soluzione Quesito 2 – simulazione seconda prova maturità scientifica 2 Aprile 2019

Professore di teoria dei segnali e analisi matematica


Professore Casparriello Marco

Esperto in didattica di Analisi Matematica e Teoria dei Segnali