Assegnato \(k\in \mathbb{R}\) , si consideri la funzione g(x) così definita \(g(x)=\frac{(k-1)x^3+k x^2 – 3}{x-1}\): .
Come va scelto il valore di \(k\) affinché il grafico di non abbia asintoti?
Come va scelto il valore di \(k\) affinché il grafico di abbia un asintoto obliquo?
Giustificare le risposte e rappresentare, nei due casi, i grafici delle funzioni ottenute.
Continua a leggere la soluzione del quesito 1 – Simulazione maturità scientifica 2019 – prova multidisciplinare che aggiunge la fisica alla tradizionale matematica – 2 aprile 2019 – MIUR
La funzione in base al suo dominio, ha un potenziale asintoto verticale in x=1 ed uno orizzontale o obliquo per \(x\to \pm \infty\)
\(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( k-1 \right){{x}^{3}}+k{{x}^{2}}-3}{x-1}=\frac{\infty }{\infty }\,\) \(\,\overset{H}{\mathop{=}}\,\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3\left( k-1 \right){{x}^{2}}+2kx}{1}=\pm \infty \) se \(k\ne 0\) \(\Rightarrow\). Sotto la condizione \(k\ne 0\) possiamo affermare che non ci sono asintoti orizzontali
\(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{g(x)}{x}=\) \(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( k-1 \right){{x}^{3}}+k{{x}^{2}}-3}{{{x}^{2}}-x}=\frac{\infty }{\infty }\,\) \(\,\overset{H}{\mathop{=}}\,\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3\left( k-1 \right){{x}^{2}}+2kx}{2x-1}=\frac{\infty }{\infty }\,\) \(\,\overset{H}{\mathop{=}}\,\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{6\left( k-1 \right)x+2k}{2}=\pm \infty \) se \(k\ne 1\) \(\Rightarrow \) Sotto la condizione \(k\ne 1\) possiamo affermare che non ci sono asintoti obliqui
Per evitare l’asintoto verticale in x=1, dobbiamo cercare un valore di k tale che il numeratore risulta divisibile per il denominatore e quindi dobbiamo fare in modo che x=1 sia una radice del numeratore’:
posto \(h(x)=\left( k-1 \right){{x}^{3}}+k{{x}^{2}}-3\) \(\Rightarrow\) \(h(1)=\left( k-1 \right)+k-3=0\) \(\Rightarrow \) \(k=2\)
Posto k=2, che rispetta anche le condizioni \(k\ne 0\) e \(k\ne 1\) si ha che in x=1, non ci sarà un asintoto verticale ma una discontinuità di terza specie.
\(\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-3}{x-1}=\frac{0}{0}\,\,\overset{H}{\mathop{=}}\,\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{3{{x}^{2}}+4x}{1}=7\)
Affinché la funzione presenti un asintoto obliquo si deve avere che il limite per \(x\to \infty \) di \(\frac{g(x)}{x}\) deve essere finito e non nullo.
Posto k=1 si ha:
\(m=\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{g(x)}{x}=\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-3}{{{x}^{2}}-x}=\frac{\infty }{\infty }\,\) \(\,\overset{H}{\mathop{=}}\,\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2x}{2x-1}=\frac{\infty }{\infty }\,\) \(\,\overset{H}{\mathop{=}}\,\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2}{2}=1\)
\(q=\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,g(x)-x=\) \(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}-3}{x-1}-x=\frac{\infty }{\infty }\,\) \(\,\overset{H}{\mathop{=}}\,\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-3+x}{x-1}=\frac{\infty }{\infty }\,\,\) \(\overset{H}{\mathop{=}}\,\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2}{2}=1\)
Con k=1 l’asintoto obliquo è y=x+1
Soluzione Problema 2 – simulazione seconda prova maturità scientifica 2 Aprile 2019
Soluzione Quesito 2 – simulazione seconda prova maturità scientifica 2 Aprile 2019
