si riporta il testo e la soluzione della simulazione della maturità scientifica, del 2 aprile 2019.

Ogni problema e quisito è correlato alla soluzione tramite link.

PROBLEMA 1

Due fili rettilinei paralleli vincolati a rimanere nella loro posizione, distanti 1 m l’uno dall’altro e di lunghezza indefinita, sono percorsi da correnti costanti di pari intensità ma verso opposto; si indichi con i l’intensità di corrente, espressa in ampere (A). Si consideri un piano perpendicolare ai due fili sul quale è fissato un sistema di riferimento ortogonale Oxy, dove le lunghezze sono espresse in metri (m), in modo che i due fili passino uno per l’origine O e l’altro per il punto 𝐷(1,0), come mostrato in figura.

1.  Verificare che l’intensità del campo magnetico 𝐵⃗ , espresso in tesla (T), in un punto 𝑃(𝑥,0) con 0<𝑥<1, è data dalla funzione \(𝐵(𝑥)=𝐾(\frac{1}{𝑥}+\frac{1}{1−𝑥})\), dove 𝐾 è una costante positiva della quale si richiede l’unità di misura. Stabilire quali sono la direzione e il verso del vettore  al variare di 𝑥 nell’intervallo (0,1). Per quale valore di 𝑥 l’intensità di \(\vec{𝐵}\) è minima

2. Nella zona di spazio sede del campo \(\vec{𝐵}\) , una carica puntiforme q transita, ad un certo istante, per il punto 𝐶 (1/2, 0), con velocità di modulo \(𝑣_0\) nella direzione della retta di equazione 𝑥 =1/2. Descriverne il moto in presenza del solo campo magnetico generato dalle due correnti, giustificando le conclusioni

3.  Indipendentemente da ogni riferimento alla fisica, studiare la funzione \(f(𝑥)=𝐾(\frac{1}{𝑥}+\frac{1}{1−𝑥})\) dimostrando, in particolare, che il grafico di tale funzione non possiede punti di flesso. Scrivere l’equazione della retta  tangente al grafico di  nel suo punto di ascissa 1/3 e determinare le coordinate dell’ulteriore punto d’intersezione tra \(r\) e il grafico di  \(f\).

4. Calcolare il valore dell’integrale\[\int_{1/4}^{3/4}{f\left( x \right)\ dx}\]ed interpretare geometricamente il risultato ottenuto. Esprimere, per  ,  l’integrale\[g\left( t \right)=\int_{2}^{t}{|f\left( x \right)|\ dx}\]e calcolare \(\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g(t)\).  Qual è il significato di tale limite?

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PROBLEMA 2

Assegnato un numero reale positivo , considerare le funzioni  e  così definite:

\(f(x)=\sqrt{x}(k-x)\)                          \(g(x)=x^2(x-k)\)

1.  Provare che, qualunque sia k>0,  nell’intervallo [0,k]  il grafico di \(f\) ha un unico punto di massimo \(F(x_F,y_F)\)  ed il grafico di \(g\) ha un unico punto di minimo \(G(x_G,y_G)\).  Verificare che si ha  \(x_G=2 x_F\) e  \(y_G=-(y_G)^2\).

2.  Verificare che, qualunque sia k>0, i grafici delle due funzioni sono ortogonali nell’origine, vale a dire che le rispettive rette tangenti in tale punto sono tra loro ortogonali. Determinare per quale valore positivo di \(k\) i due grafici si intersecano ortogonalmente anche nel loro ulteriore punto comune

D’ora in avanti, assumere k=1.  In un riferimento cartesiano, dove le lunghezze sono espresse in metri (m), l’unione degli archi di curva di equazioni  y=f(x) e y=g(x), per \(x\in[0,1]\)  , rappresenta il profilo di una spira metallica. Sia \(S\) la regione piana delimitata da tale spira.

3.  Supponendo che nella regione \(S\) sia presente un campo magnetico uniforme, perpendicolare al piano di \(S\) , avente intensità \(B_0=2,0\cdot 10^{-2}T\) , verificare che il valore assoluto del flusso di tale campo attraverso \(S\) è pari a \(B_0=7,0\cdot 10^{-3}T\)

4.  Supporre che la spira abbia resistenza elettrica pari a \(R=70\Omega\) e che il campo magnetico, rimanendo perpendicolare al piano di \(S\), a partire dall’istante \(t_0=0s\), inizi a variare secondo la legge:\(B(t)=B_0 e^{-\omega t} cos(\omega t)\),  con \(\omega=\pi rad/s\)e \(t\geqslant 0\) espresso in secondi (s). Esprimere l’intensità della corrente indotta nella spira in funzione di t, specificando in quale istante per la prima volta la corrente cambia verso.

Qual è il valore massimo di tale corrente per \(t\geqslant 0\)? Spiegare quale relazione esiste tra la variazione del campo che induce la corrente e il verso della corrente indotta.

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QUESTIONARIO

QUESITO 1

Assegnato \(k\in \mathbb{R}\) ,  si consideri la funzione g(x) così definita \(g(x)=\frac{(k-1)x^3+k x^2 – 3}{x-1}\):   .

Come va scelto il valore di \(k\) affinché il grafico di  non abbia asintoti?

Come va scelto il valore di \(k\) affinché il grafico di  abbia un asintoto obliquo?

Giustificare le risposte e rappresentare, nei due casi, i grafici delle funzioni ottenute.

Soluzione del quesito 1 della simulazione di maturità scientifica 2 aprile 2019

QUESITO 2

Sia \(f\) una funzione pari e derivabile in \(\mathbb{R}\), sia \(g\) una funzione dispari e derivabile in \(\mathbb{R}\). Dimostrare che la funzione \(f\)  è dispari e che la funzione \(g\)  è pari. Fornire un esempio per la funzione \(f\) ed un esempio per la funzione \(g\) , verificando quanto sopra.

Soluzione del quesito 2 della simulazione di maturità scientifica 2 aprile 2019

QUESITO 3

Si consideri la funzione \(f:(0,+\inf) \rightarrow \mathbb{R}\)  così definita:

\[f\left( 1 \right)=\int_{1}^{x}{\ \frac{\cos \left( \frac{\pi }{3}t \right)}{t}}\ dt=0\]

Determinare l’equazione della retta tangente al grafico di \(f\) nel suo punto di ascissa \(1\).

Soluzione del quesito 3 della simulazione di maturità scientifica 2 aprile 2019

QUESITO 4

Nello spazio tridimensionale, sia  la retta passante per i punti \(A(-2,0,1)\) e \(B(0,2,1)\).  Determinare le coordinate di un punto appartenente alla retta  che sia equidistante rispetto ai punti \(C(5,1,-2)\) e  \(D(1,3,4)\).

Soluzione del quesito 4 della simulazione di maturità scientifica 2 aprile 2019

QUESITO 5

Emma fa questo gioco: lancia un dado con facce numerate da 1 a 6; se esce il numero 3 guadagna 3 punti, altrimenti perde 1 punto. Il punteggio iniziale è 0.

Qual è la probabilità che, dopo 4 lanci, il suo punteggio sia ancora 0?

Qual è la probabilità che, in una sequenza di 6 lanci, il punteggio non scenda mai sotto lo 0

Soluzione del quesito 5 della simulazione di maturità scientifica 2 aprile 2019

QUESITO 6

Ai vertici di un quadrato \(ABCD\), di lato 2m, sono fissate quattro cariche elettriche. La carica in A è pari a 9 nC, la carica in B è pari a 2 nC, la carica in C è pari a 4 nC, la carica in D è pari a -3 nC. Supponendo che le cariche si trovino nel vuoto, determinare intensità, direzione e verso del campo elettrostatico generato dalle quattro cariche nel centro del quadrato.

Soluzione del quesito 6 della simulazione di maturità scientifica 2 aprile 2019

QUESITO 7

Un protone, inizialmente in quiete, viene accelerato da una d.d.p. di 400 V ed entra, successivamente, in una regione che è sede di un campo magnetico uniforme e perpendicolare alla sua velocità.

La figura illustra un tratto semicircolare della traiettoria descritta dal protone (i quadretti hanno lato 1,00 m). Determinare l’intensità di \(\vec{B}\).

Soluzione del quesito 7 della simulazione di maturità scientifica 2 aprile 2019