Soluzione quesito 6

Soluzione Quesito 6 – Simulazione Seconda prova scientifica 2 aprile 2019

Ai vertici di un quadrato \(ABCD\), di lato 2m, sono fissate quattro cariche elettriche. La carica in A è pari a 9 nC, la carica in B è pari a 2 nC, la carica in C è pari a 4 nC, la carica in D è pari a -3 nC. Supponendo che le cariche si trovino nel vuoto, determinare intensità, direzione e verso del campo elettrostatico generato dalle quattro cariche nel centro del quadrato.

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Soluzione

Campo elettrico generato da cariche ai vertici di un quadrato

I campi elettrici al centro del quadrato sono rappresentati in figura, dove si è tenuto conto del segno delle cariche (l’unica negativa che genera un campo diretto verso di se è la carica posta nel vertice D)

Osservando che la distanza di ciascun vertice dal centro del quadrato può essere calcolata attraverso il teorema di Pitagora \(d=\frac{L}{\sqrt{2}}\) calcoliamo i moduli dei vari campi elettrici attraverso il :

\({{E}_{A}}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{{{q}_{A}}}{d}\), \({{E}_{B}}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{{{q}_{B}}}{d}\), \({{E}_{C}}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{{{q}_{C}}}{d}\) , \({{E}_{D}}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{{{q}_{D}}}{d}\)

Per ottenere le componenti dei vari campi elettrici lungo l’asse x e lungo l’asse y, moltiplichiamo rispettivamente per \(\cos 45\) e per \(\sin 45\).

\(\cos 45=\sin 45=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Il campo elettrico lungo l’asse x vale:

\({{E}_{x}}=\frac{{{E}_{A}}}{\sqrt{2}}+\frac{{{E}_{B}}}{\sqrt{2}}-\frac{{{E}_{C}}}{\sqrt{2}}+\frac{{{E}_{D}}}{\sqrt{2}}=\) \(\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}d\sqrt{2}}\left( {{q}_{A}}+{{q}_{B}}-{{q}_{C}}+{{q}_{D}} \right)=\) \(\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}L}\left( {{q}_{A}}+{{q}_{B}}-{{q}_{C}}+{{q}_{D}} \right)\)

Il campo elettrico lungo l’asse y vale:

\({{E}_{y}}=\frac{{{E}_{A}}}{\sqrt{2}}-\frac{{{E}_{B}}}{\sqrt{2}}-\frac{{{E}_{C}}}{\sqrt{2}}-\frac{{{E}_{D}}}{\sqrt{2}}=\) \(\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}L}\left( {{q}_{A}}-{{q}_{B}}-{{q}_{C}}-{{q}_{D}} \right)\)

Il modulo del campo elettrico è dato da \(E=\sqrt{{{E}_{x}}^{2}+{{E}_{y}}^{2}}\)

La direzione è individuata dall’angolo \(\theta ={{\tan }^{-1}}\frac{{{E}_{y}}}{{{E}_{x}}}\)

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