Logaritmo complesso e Logaritmo principale

Logaritmo complesso

In questa lezione parliamo di logaritmo complesso e logaritmo principale. Vedremo che si intende per logaritmo complesso e come esso può essere trasformato in una funzione complessa attraverso il concetto di logaritmo principale.

Il logaritmo complesso può essere visto come un’estensione del logaritmo al campo dei complessi.

Partiamo dalla definizione di logaritmo naturale in campo reale, per poi estenderlo al caso complesso:

\(y=\ln x\)

\(y\) è quel numero a cui elevando la base \(e\)  si ottiene l’argomento \(x\).

\(x={{e}^{y}}\) , dove \(x,y\,\in \mathbb{R}\)

Definizione di logaritmo naturale in campo complesso:
\(w=\ln z\)

In campo complesso \(w\) è quel numero a cui elevando la base  \(e\) si ottiene l’argomento complesso \(z\)

\(z={{e}^{w}}\), dove \(z,w\in \mathbb{C}\)

Essendo però \(w\)  un numero complesso, possiamo scriverlo in forma algebrica \(w=x+iy\), con \(x,y\in \mathbb{R}\) e si ha che \(x={{e}^{x+iy}}={{e}^{x}}{{e}^{iy}}\) , dove \({{e}^{x}}\) è un numero reale e positivo e rappresenta il modulo del numero complesso.

 

Come calcolare un logaritmo complesso

Se l’argomento del logaritmo viene rappresentato in forma esponenziale \(z=\left| z \right|{{e}^{i\,\arg z}}\)  si ottiene la seguente espressione

\(\ln z=\ln \left( \left| z \right|\,{{e}^{i\,\arg \,z}} \right)=\ln \left| z \right|+i\,\arg z\)

Dove l’argomento di z è definito a meno di un multiplo di \(2\pi \) e può essere espresso come \(\arg z=\theta +2k\pi \), con \(k\in \mathbb{Z}\).

Il logaritmo complesso di un numero, come la radice ammette infiniti valori, pertanto non può essere definito come una funzione.

Se vogliamo dare una nuova definizione di logaritmo in campo complesso possiamo dire che è quel numero avente come parte reale il modulo di z e come parte immaginaria il suo argomento.

Si osserva che in campo complesso è possibile calcolare il logaritmo anche quando l’argomento è negativo.

Ad esempio se vogliamo calcolare \(z=\ln \left( -\sqrt{e} \right)\), possiamo riscrivere l’argomento del logaritmo in forma esponenziale come \(z=\left( -1 \right){{e}^{\frac{1}{2}}}={{e}^{i\pi }}{{e}^{\frac{1}{2}}}\) , e quindi si ha che l’argomento è \(\arg z=\pi \) e il modulo è \(\left| z \right|={{e}^{\frac{1}{2}}}\) .

Quindi

\(z=\ln \left( -\sqrt{e} \right)=\frac{1}{2}+i\left( \pi +2k\pi  \right)\)

Logaritmo principale

Lo scopo dell’introduzione nella matematica complessa del logartimo principale è quello poter ridefinire il logaritmo complesso come una funzione.

Ricordiamo che una funzione associa a ciascun valore dell’argomento uno ed una solo valore, quindi per come l’abbiamo definito fino ad ora non rappresenta una funzione, in quanto a ogni numero complesso associa infiniti valori dipendenti da k.

Il logaritmo principale si ottiene limitando l’argomento \(-\pi \leq \theta \leq \pi \).

Nell’esempio precedente il logaritmo principale è

\(z=\ln \left( -\sqrt{e} \right)=\frac{1}{2}+i\pi \)

Il logaritmo principale è definito in termini di funzione come \(f:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}\), con \(w=f\left ( z \right )=lnz\) con \(\Im w\in \left [ -\pi,\pi \right ]\)

Lezioni di Analisi Matematica


Autore: Ing. Casparriello Marco

Lezioni di matematica e fisica a cura di Marco Casparriello.