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Teorema di Cesaro-Stoltz
Siano \({{\left\{ {{a}_{n}} \right\}}_{n\in \mathbb{N}}}\) e \({{\left\{ {{b}_{n}} \right\}}_{n\in \mathbb{N}}}\) due successioni numeriche, con \({{\left\{ {{b}_{n}} \right\}}_{n\in \mathbb{N}}}\) strettamente positiva, strettamente crescente e illimitata.
Se esiste il limite \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n+1}}-{{a}_{n}}}{{{b}_{n+1}}-{{b}_{n}}}\), allora esiste anche il limite \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}\) e i due valori coincidono: \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n+1}}-{{a}_{n}}}{{{b}_{n+1}}-{{b}_{n}}}\)
I Teorema di Cesaro
Data una successione \({{\left\{ {{a}_{n}} \right\}}_{n\in \mathbb{N}}}\), consideriamo la successione \({{\left\{ {{\alpha }_{n}} \right\}}_{n\in \mathbb{N}}}\) delle sue medie, ovvero la successione definita da
\({{\alpha }_{n}}=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1}{{{a}_{k}}},\,\,\,n\in \mathbb{N}\)
Se \({{\left\{ {{a}_{n}} \right\}}_{n\in \mathbb{N}}}\) converge al valore l, allora anche \({{\left\{ {{a}_{n}} \right\}}_{n\in \mathbb{N}}}\), ovvero
\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=l\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{\alpha }_{n}}=l\)
II Teorema di Cesaro
Supponiamo che la successione \({{\left\{ {{a}_{n}} \right\}}_{n\in \mathbb{N}}}\) sia tale che:
\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n+1}}-{{a}_{n}}=l\)
Allora vale anche
\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=l\)
III Teorema di Cesaro
Supponiamo che la successione \({{\left\{ {{a}_{n}} \right\}}_{n\in \mathbb{N}}}\) abbia limite l e che si abbia \({{a}_{n}}>0\,\forall n\in \mathbb{N}\). Allora
\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt[n]{\prod\limits_{k=0}^{n-1}{a_{k}^{{}}}}=l\)
IV Teorema di Cesaro (Punto di connessione tra il teorema del rapporto e il teorema della radice per successioni)
Sia \({{\left\{ {{a}_{n}} \right\}}_{n\in \mathbb{N}}}\) una successione tale che \({{a}_{n}}>0\,\forall n\in \mathbb{N}\) . Vale la seguente implicazione
\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{n}}}=l\,\,\Rightarrow \,\,\,\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt[n]{{{a}_{n}}}=l\)
Esempio 1:
Si vuole calcolare il seguente limite: \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}\)
Soluzione
Per cominciare portiamo tutto sotto radice:
\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}\,\,\,=\,\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt[n]{\frac{n!}{{{n}^{n}}}\,}\,=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt[n]{{{a}_{n}}}\)
Per il IV teorema di Cesaro posso calcolare equivalentemente:
\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n+1}}}{{{a}_{n}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( n+1 \right)!}{{{\left( n+1 \right)}^{n+1}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\,\frac{{{n}^{n}}}{{{\left( n+1 \right)}^{n}}}=\frac{1}{{{\left( 1+\frac{1}{n} \right)}^{n}}}=\frac{1}{e}\)
Quindi possiamo concludere che il risultato del nostro limite è:
\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}\,\,\,=\frac{1}{e}\)
Esempio 2:
Supponiamo di voler calcolare il seguente limite:
\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sum\limits_{k=0}^{n}{\frac{{{k}^{2}}}{k+1}}}{{{n}^{2}}}\,\,\,\)
Svolgimento:
Per fare ciò definiamo
\(\,\,\,{{a}_{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{\frac{{{k}^{2}}}{k+1}}\,\,\) e \({{b}_{n}}={{n}^{2}}\,\,\,\)
A questo punto calcoliamo il limite:
\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n+1}}-{{a}_{n}}}{{{b}_{n+1}}-{{b}_{n}}}=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{n}^{2}}}{\left( 2n+1 \right)\left( n+1 \right)}\sim \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{n}^{2}}}{2{{n}^{2}}}=\frac{1}{2}\)
E per il teorema di Cesaro-Stoltz si avrà che
\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sum\limits_{k=0}^{n}{\frac{{{k}^{2}}}{k+1}}}{{{n}^{2}}}\,\,\,=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}=\frac{1}{2}\)
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