DEFINIZIONE DI CAMPO VETTORIALE

Un campo vettoriale è una funzione che associa ad ogni punto di una regione di uno spazio euclideo un vettore appartenente allo stesso spazio.

Dato un insieme aperto e connesso \(\Omega \) contenuto in \({{\mathbb{R}}^{n}}\), si definisce campo vettoriale una funzione \(\mathbf{F}\) continua che associa a ciascun punto \(P\in \Omega \) un vettore \(\mathbf{v}\in {{\mathbb{R}}^{n}}\) .

\(\mathbf{F}:\Omega \to {{\mathbb{R}}^{n}}\)

Nello specifico:

Campo vettoriale bidimensionale

\(\mathbf{F}:\Omega \to {{\mathbb{R}}^{2}}\), con \(\Omega \subseteq {{\mathbb{R}}^{2}}\)insieme aperto e connesso e \(\mathbf{F}\left( x,y \right)=\left[ u\left( x,y \right)\,\,\,v\left( x,y \right) \right]\) è una funzione continua (nel senso che u e v sono funzioni continue sul dominio).

Campo vettoriale tridimensionale

\(\mathbf{F}:\Omega \to {{\mathbb{R}}^{3}}\), con \(\Omega \subseteq {{\mathbb{R}}^{3}}\)insieme aperto e connesso e \(\mathbf{F}\left( x,y \right)=\left[ u\left( x,y,z \right)\,\,\,v\left( x,y,z \right)\,\,\,w\left( x,y,z \right) \right]\) è una funzione continua (nel senso che u e v sono funzioni continue sul dominio).

Esempio 1

\(\mathbf{F}:{{\mathbb{R}}^{2}}/\left\{ 0,0 \right\}\to {{\mathbb{R}}^{2}}\)

\(\mathbf{F}\left( x,y \right)=\frac{\left( x\,\,\,,\,\,\,y \right)}{\left\| \left( x\,\,,\,\,y \right) \right\|}=\left( \frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}\,\,\,,\,\,\,\frac{y}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}} \right)\)

è un campo vettoriale a simmetria sferica

Esempio 2 (il campo gravitazionale)

\(\mathbf{F}:{{\mathbb{R}}^{3}}\to {{\mathbb{R}}^{3}}\)

\(\mathbf{F}\left( x,y,z \right)=\left( 0\,\,\,\,,\,\,\,\,0\,\,\,\,,\,\,\,\,-g \right)\)

è una funzione costante su tutto lo spazio tridimensionale

DOMINIO DI UN CAMPO VETTORIALE

Generalmente il dominio di definizione di un campo è connesso. Un dominio si dice connesso quando, dati due punti qualsiasi ad esso appartenenti, esiste almeno una curva interamente contenuta nel dominio stesso che unisce i due punti. Un dominio connesso può essere:

linearmente connesso quando, data una qualsiasi curva chiusa appartenente al dominio, esiste sempre almeno una superficie avente come contorno tale curva che sia interamente contenuta nel dominio stesso. Un dominio siffatto si dice anche a connessione lineare semplice.

superficialmente connesso: quando qualsiasi superficie chiusa appartenente al dominio racchiude un volume interamente appartenente al dominio. Un dominio siffatto si dice anche a connessione superficiale semplice

a connessione lineare multipla quando non è a connessione lineare semplice

a connessione superficiale multipla quando non è a connessione superficiale semplice

dominio a connessione lineare multipla e a connessione superficiale multipla

a. il dominio toroidale rappresentato è un dominio a connessione lineare multipla, poiché nessuna delle superfici che hanno come contorno la curva G è contenuta interamente nel dominio. Il dominio è anche superficialmente connesso.

b. Il dominio compreso tra le due superfici chiuse \({{\Sigma }_{e}}\) e \({{\Sigma }_{i}}\) (quest’ultima è sezionata per maggior chiarezza) è invece a connessione superficiale multipla: infatti Il volume contenuto all’interno della superficie S non appartiene interamente al dominio.ù

LAVORO E CAMPI CONSERVATIVI

Il lavoro infinitesimo compiuto dal campo vettoriale per uno spostamento infinitesimo è:

\(dL=\left\langle \mathbf{F},d\mathbf{l} \right\rangle \)

Il lavoro compiuto dal campo lungo una curva orientata \(\gamma \) invece è dato dall’integrale:

\(L=\int_{\gamma }{dL}=\int_{\gamma }{\left\langle \mathbf{F},d\mathbf{l} \right\rangle }\)

Che equivale a dire la somma di tutti i campi vettoriali infinitesimi.

Se \(\mathbf{F}:\Omega \to {{\mathbb{R}}^{n}}\) è un campo continuo e \(\gamma \) è una curva orientata, regolare a tratti di parametrizzazione \(\gamma :\left[ a,b \right]\to {{\mathbb{R}}^{n}}\) , si definisce integrale curvilineo del campo \(\mathbf{F}\) lungo la curva \(\gamma \) il seguente integrale:

\(\int_{\gamma }{\left\langle \mathbf{F},d\mathbf{l} \right\rangle }=\int\limits_{a}^{b}{\mathbf{F}\left( \gamma \left( t \right) \right)}\,\bullet \,\,{\gamma }’\left( t \right)\,dt\)

Nel caso bidimensionale diventa:

\(\begin{align}& \int\limits_{a}^{b}{\mathbf{F}\left( \gamma \left( t \right) \right)}\,\bullet \,\,{\gamma }’\left( t \right)\,dt=\int\limits_{a}^{b}{\mathbf{F}\left( x\left( t \right)\,,y\left( t \right) \right)}\,\bullet \,\,\left( {x}’\left( t \right)\,\,,\,\,{y}’\left( t \right) \right)\,dt= \\& \int\limits_{a}^{b}{\left( u\left( x\left( t \right)\,,y\left( t \right) \right)\,\,\,\,,\,\,\,v\left( x\left( t \right)\,,y\left( t \right) \right) \right)\,\,\,}\,\bullet \,\,\left( {x}’\left( t \right)\,\,,\,\,{y}’\left( t \right) \right)\,dt= \\& \int\limits_{a}^{b}{u\left( x\left( t \right)\,,y\left( t \right) \right)\,\,{x}’\left( t \right)\,dt}\,+\int\limits_{a}^{b}{v\left( x\left( t \right)\,,y\left( t \right) \right)\,\,{y}’\left( t \right)\,dt}\, \\\end{align}\)

Proprietà 1

Il segno dell’integrale dipende dalla direzione nella quale si percorre la curva:

\(\int\limits_{{{\gamma }^{+}}}{\mathbf{F}\,\bullet \,\,d\mathbf{l}}=-\int\limits_{{{\gamma }^{-}}}{\mathbf{F}\,\bullet \,\,d\mathbf{l}}\)

Proprietà 2

E’ possibile spezzare la curva in tanti pezzi di curva: \(\gamma ={{\gamma }_{1}}\oplus {{\gamma }_{2}}\oplus …\oplus {{\gamma }_{k}}\)

\(\int\limits_{\gamma }{\mathbf{F}\,\bullet \,d\mathbf{l}}=\int\limits_{{{\gamma }_{1}}}{\mathbf{F}\,\bullet \,d\mathbf{l}}+\int\limits_{{{\gamma }_{2}}}{\mathbf{F}\,\bullet \,d\mathbf{l}}+…+\int\limits_{{{\gamma }_{k}}}{\mathbf{F}\,\bullet \,d\mathbf{l}}\)

CAMPI CONSERVATIVI

Dato un campo vettoriale \(\mathbf{F}:\Omega \to {{\mathbb{R}}^{2}}\) , si definisce POTENZIALE (estensione del concetto di primitiva) di \(\mathbf{F}\) una funzione \(g:\Omega \to \mathbb{R}\) di classe \({{C}^{1}}\) tale che \(\nabla g\left( {{x}_{1}},…,{{x}_{n}} \right)=\mathbf{F}\left( {{x}_{1}},..,{{x}_{n}} \right)\) .

Un campo \(\mathbf{F}\) si dice conservativo se ammette potenziale.

Se \(g\) è un potenziale, lo è anche \(g+c\) con \(c\in \mathbb{R}\).

LAVORO COMPIUTO DA UN CAMPO CONSERVATIVO

Il lavoro copiuto da un campo conservativo non dipende dal percorso, ed è pari alla differenza di potenziale:

\(\int\limits_{\gamma }{\mathbf{F}\,\bullet \,\,d\mathbf{l}}=g\left( \gamma \left( b \right) \right)-g\left( \gamma \left( a \right) \right)\), dove \(g\) è un potenziale

Dimostrazione

\(\int_{\gamma }{\left\langle \mathbf{F},d\mathbf{l} \right\rangle }=\int\limits_{a}^{b}{\mathbf{F}\left( \gamma \left( t \right) \right)}\,\bullet \,\,{\gamma }’\left( t \right)\,dt=\int\limits_{a}^{b}{\nabla g\left( \gamma \left( t \right) \right)}\,\bullet \,\,{\gamma }’\left( t \right)\,dt=*\)

Dal teorema di derivazione delle funzioni composte: \(\frac{d}{dt}g\left( \gamma \left( t \right) \right)=\nabla g\left( \gamma \left( t \right) \right)\bullet {\gamma }’\left( t \right)\)

\(*=\int\limits_{a}^{b}{\frac{d}{dt}g\left( \gamma \left( t \right) \right)}\,dt=g\left( \gamma \left( b \right) \right)-g\left( \gamma \left( a \right) \right)\)

Conseguenza

Se un campo è conservativo, il lavoro compiuto da esso su un percorso chiuso è nullo.

\(\oint_{\gamma }{\left\langle \mathbf{F},d\mathbf{l} \right\rangle }=0\)

CIRCUITAZIONE

In fisica l’integrale di un campo su un percorso chiuso prende il nome di circuitazione.

\(C=\oint_{\gamma }{\left\langle \mathbf{F},d\mathbf{l} \right\rangle }\)

CARATTERIZZARE UN CAMPO CONSERVATIVO

Si dimostra che queste tre proposizioni sono equivalenti:

1. Comunque scelte due curve orientate \({{\gamma }_{1}}\) e \({{\gamma }_{2}}\) e aventi estremi coincidenti \({{\gamma }_{1}}\left( b \right)={{\gamma }_{2}}\left( b \right)\) e \({{\gamma }_{1}}\left( a \right)={{\gamma }_{2}}\left( a \right)\), con sostegno in \(\Omega \) , regolari a tratti, si ha \(\int_{{{\gamma }_{1}}}{\mathbf{F}\,\bullet \,d\mathbf{l}}=\int_{{{\gamma }_{2}}}{\mathbf{F}\,\bullet \,d\mathbf{l}}\)

2. Comunque scelta una chiusa \(\gamma \) regolare a tratti, si ha che \(\int_{\gamma }{\mathbf{F}\bullet d\mathbf{l}}=0\)

3. \(\mathbf{F}\) è conservativo.

ROTORE DI UN CAMPO VETTORIALE

Il rotore di un campo vettoriale è un vettore definito da:

\(\mathbf{rot}\,\mathbf{F}=\nabla \times \mathbf{F}\)

Cioè, è definito come il prodotto vettoriale tra l’operatore nabla \(\nabla =\left( \frac{\partial }{\partial {{x}_{1}}}\,\,\,\,\,,\,\,\,\,…\,\,\,,\,\,\,\frac{\partial }{\partial {{x}_{n}}}\,\,\, \right)\) e il campo \(\mathbf{F}\) .

Nel caso n=3

Il calcolo del gradiente si ottiene attraverso il calcolo del seguente determinante:

\(\mathbf{rot}\,\mathbf{F}=\nabla \times \mathbf{F}=\det \left( \begin{matrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\frac{\partial }{\partial{{x}_{{}}}}\, & \frac{\partial }{\partial y}\, & \frac{\partial }{\partial z}\, \\u &v & w \\\end{matrix} \right)\)

CAMPO IRROTAZIONALE NELLO SPAZIO: Un campo \(\mathbf{F}:\Omega \to {{\mathbb{R}}^{3}}\) di classe \({{C}^{1}}\) si dice irrotazionale se \(\mathbf{rot}\,\mathbf{F}\left( x,y,z \right)=\left( 0,\,0,\,0 \right)\,\,\,\,\forall \left( x,y,z \right)\in \Omega \)

Il che equivale a verificare il sistema:

\(\left\{ \begin{align}& \frac{\partial }{\partial x}v=\frac{\partial }{\partial y}u\, \\& \frac{\partial }{\partial x}w=\frac{\partial }{\partial z}u \\& \frac{\partial }{\partial y}w=\frac{\partial }{\partial z}v \\\end{align} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\forall \left( x,y,z \right)\in {{\mathbb{R}}^{3}}\)

Nel caso n=2 si può calcolare a partire dal caso n=3 ponendo \(w=0\) :

\(\mathbf{rot}\,\mathbf{F}=\nabla \times \mathbf{F}=\det \left( \begin{matrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial }{\partial {{x}_{{}}}}\, & \frac{\partial }{\partial y}\, & \frac{\partial }{\partial z}\, \\ u & v & 0 \\\end{matrix}\right)=\det \left( \begin{matrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial }{\partial {{x}_{{}}}}\, & \frac{\partial }{\partial y}\, & 0\, \\ u & v & 0 \\\end{matrix} \right)=\mathbf{k}\,\det \left( \begin{matrix} \frac{\partial }{\partial {{x}_{{}}}} & \frac{\partial }{\partial y} \\ u & v \\\end{matrix} \right)\)

CAMPO IRROTAZIONALE NEL PIANO

Un campo \(\mathbf{F}:\Omega \to {{\mathbb{R}}^{2}}\) di classe \({{C}^{1}}\) si dice irrotazionale (solenoidale) se \(\mathbf{rot}\,\mathbf{F}\left( x,y \right)=\left( 0,\,0 \right)\,\,\,\,\forall \left( x,y \right)\in \Omega \)

In questo caso equivale a dire che:

\(\frac{\partial }{\partial x}v=\frac{\partial }{\partial y}u\,\,\,\,\forall \left( x,y \right)\in {{\mathbb{R}}^{2}}\)

TEOREMA

Ogni campo conservativo è irrotazionale.

Dimostrazione

Sia \(\mathbf{F}=\left( u,v,w \right)\) un campo conservativo di classe \({{C}^{1}}\left( \Omega \right)\) , allora ammette un potenziale \(g\) .

\({{g}_{x}}=u\) , \({{g}_{y}}=v\) , \({{g}_{z}}=w\) in \(\Omega \) .

Le funzioni \({{g}_{x}},{{g}_{y}},{{g}_{z}}\) sono a loro volta derivabili in \(\Omega \), in quanto \(\mathbf{F}\) è di classe \({{C}^{1}}\left( \Omega \right)\), e quindi \(g\) è di classe \({{C}^{2}}\left( \Omega \right)\).

Per il teorema di Schwarz non conta l’ordine in cui si deriva nelle derivate miste.

Allora:

1. \({{g}_{xy}}={{g}_{yx}}\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,{{g}_{xy}}={{\left( {{g}_{x}} \right)}_{y}}={{u}_{y}}\,\,,\,\,\,\,{{g}_{yx}}={{\left( {{g}_{y}} \right)}_{x}}={{v}_{x}}\,\,\Rightarrow \,\,\,{{u}_{y}}={{g}_{x}}\)

2. \({{g}_{xz}}={{g}_{zx}}\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,{{g}_{xz}}={{\left( {{g}_{x}} \right)}_{z}}={{u}_{z}}\,\,,\,\,\,\,{{g}_{zx}}={{\left( {{g}_{z}} \right)}_{x}}={{w}_{x}}\,\,\Rightarrow \,\,\,{{u}_{z}}={{w}_{x}}\)

3. \({{g}_{zy}}={{g}_{yz}}\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,{{g}_{zy}}={{\left( {{g}_{z}} \right)}_{y}}={{w}_{y}}\,\,,\,\,\,\,{{g}_{yz}}={{\left( {{g}_{y}} \right)}_{z}}={{u}_{z}}\,\,\Rightarrow \,\,\,{{w}_{y}}={{u}_{z}}\)

Il fatto che il campo è irrotazionale è condizione necessaria ma non sufficiente affinchè un campo sia conservativo.

DOMINIO SEMPLICEMENTE CONNESSO

\(\Omega \) si definisce semplicemente connesso se è connesso e ogni curva chiusa con sostegno in \(\Omega \)si può deformare con continuo fino a ridurla ad un punto senza mai uscire da \(\Omega \).

In n=2 sono semplicemente connesse soltanto superfici continue che non contengono buchi.

Definiamo \({{B}_{\delta }}\left( {{P}_{0}} \right)\) la palla di centro \({{P}_{0}}\) e raggio \(\delta \), dove per palla si intende una circonferenza nel piano, una sfera nello spazio, una iperfesfera in più di tre dimensioni.

\(\Omega =\left\{ \left( x,y \right)\in {{\mathbb{R}}^{2}}:\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 3,\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge 1 \right\}={{B}_{\sqrt{3}}}\left( 0,0 \right)/{{B}_{1}}\left( 0,0 \right)\) non è semplicemente connesso.

\(\Omega =\left\{ \left( x,y \right)\in {{\mathbb{R}}^{2}}/\left( 0,0 \right):\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 3 \right\}={{B}_{\sqrt{3}}}\left( 0,0 \right)/\left\{ \left( 0,0 \right) \right\}\) non è semplicemente connesso

\(\Omega =\left\{ \left( x,y \right)\in {{\mathbb{R}}^{2}}:\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 3 \right\}={{B}_{\sqrt{3}}}\left( 0,0 \right)\) è semplicemente connesso.

In n=3 volumi semplicemente connessi possono contenere bolle, ma non possono essere fatte a forma di ciambella (esempio: il toro)

\(\Omega =\left\{ \left( x,y \right)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\le 3,\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\ge 1 \right\}={{B}_{\sqrt{3}}}\left( 0,0,0 \right)/{{B}_{1}}\left( 0,0,0 \right)\) è semplicemente connesso.

\(\Omega =\left\{ \left( x,y \right)\in {{\mathbb{R}}^{3}}/\left( 0,0,0 \right):\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\le 3 \right\}={{B}_{\sqrt{3}}}\left( 0,0,0 \right)/\left\{ \left( 0,0,0 \right) \right\}\) non è semplicemente connesso

\(\Omega =\left\{ \left( x,y \right)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\le 3 \right\}={{B}_{\sqrt{3}}}\left( 0,0,0 \right)\) è semplicemente connesso.

\(\Omega =\left\{ \left( x,y,z \right)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\le 3\,,\,\,\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge 1\, \right\}\) non è semplicemente connesso

TEOREMA

Se \(\mathbf{F}:\Omega \to {{\mathbb{R}}^{n}}\) è un campo di classe \({{C}^{1}}\) irrotazionale e il suo dominio \(\Omega \) semplicemente connesso, allora \(\mathbf{F}\) è conservativo.

FORMULE DI GAUSS-GREEN NEL PIANO

Un dominio nel piano si dice semplice (o normale) se si può rappresentare in una di queste due forme:

1. \(D=\left\{ \left( x,y \right)\in {{\mathbb{R}}^{2}}:\,\,\,x\in \left[ a,b \right],\,\,\alpha \left( x \right)\le y\le \beta \left( x \right) \right\}\)

2. \(D=\left\{ \left( x,y \right)\in {{\mathbb{R}}^{2}}:\,\,\,y\in \left[ a,b \right],\,\,\alpha \left( y \right)\le x\le \beta \left( y \right) \right\}\)

Un dominio semplice (o normale) si dice regolare se:

1. Nel primo caso se \(\alpha ,\beta \in {{C}^{1}}\left( \left[ a,b \right] \right)\) e \(\alpha \left( x \right)<\beta \left( x \right)\,\,\,\forall x\in \left[ a,b \right]\)

2. Nel secondo caso se \(\alpha ,\beta \in {{C}^{1}}\left( \left[ a,b \right] \right)\) e \(\alpha \left( y \right)<\beta \left( y \right)\,\,\,\forall x\in \left[ a,b \right]\)

Un dominio qualunque si dice regolare se è l’unione di un insieme finito di domini normali regolari \({{D}_{1}},{{D}_{2}},…,{{D}_{n}}\) a due a due privi di punti interni in comune. Se \(D\) è un dominio regolare, la sua frontiera \(\partial D\) è l’unione di un numero finito di curve regolari a tratti.

L’orientazione positiva della frontiera \(\partial {{D}^{+}}\)è quella che fa si che un osservatore immaginario che la percorre vede sempre il dominio alla sua sinistra.

Matematicamente si ha che la direzione positiva di percorrenza della frontiera del dominio \(\partial {{D}^{+}}\)è tale che il versore normale alla curva punta verso l’esterno dell’insieme \(D\) .

Versore tangente alla curva nel piano: \(\mathbf{T}=\left( \frac{{x}’\left( t \right)}{\sqrt{{{\left( {x}’\left( t \right) \right)}^{2}}+{{\left( {y}’\left( t \right) \right)}^{2}}}},\frac{{y}’\left( t \right)}{\sqrt{{{\left( {x}’\left( t \right) \right)}^{2}}+{{\left( {y}’\left( t \right) \right)}^{2}}}} \right)\)

Versore normale alla curva nel piano: \(\mathbf{N}=\left( \frac{{y}’\left( t \right)}{\sqrt{{{\left( {x}’\left( t \right) \right)}^{2}}+{{\left( {y}’\left( t \right) \right)}^{2}}}},-\frac{{x}’\left( t \right)}{\sqrt{{{\left( {x}’\left( t \right) \right)}^{2}}+{{\left( {y}’\left( t \right) \right)}^{2}}}} \right)\)

Sia \(\mathbf{F}:D\to {{\mathbb{R}}^{2}}\) un campo continuo, calcolare l’integrale di \(\mathbf{F}\) lungo il bordo del dominio \(\partial {{D}^{+}}\)orientato positivamente si intende:

\(\int_{\partial {{D}^{+}}}{\mathbf{F}\,\bullet \,d\mathbf{l}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\int_{{{\gamma }_{i}}}{\mathbf{F}\,\bullet \,d\mathbf{l}}}\)

Dove \(\partial {{D}^{+}}=\bigcup\limits_{i=1}^{n}{\,{{\gamma }_{i}}}\), dove le\({{\gamma }_{i}}\)sono curve regolari a tratti orientate positivamente rispetto al dominio \(D\) .

Analogamente data una funzione \(f:D\to \mathbb{R}\) continua

\(\int_{\partial {{D}^{+}}}{f\,dx}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\int_{{{\gamma }_{i}}}{f\,\,dx}}\) e \(\int_{\partial {{D}^{+}}}{f\,dy}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\int_{{{\gamma }_{i}}}{f\,\,dy}}\)

DOMINIO  SEMPLICEMENTE CONNESSO

\(\Omega \) si definisce semplicemente connesso se è connesso e ogni curva chiusa con sostegno in \(\Omega \)si può deformare con continuo fino a ridurla ad un punto senza mai uscire da \(\Omega \).
In n=2  sono semplicemente connesse soltanto superfici continue che non contengono buchi.
Definiamo \({{B}_{\delta }}\left( {{P}_{0}} \right)\) la palla di centro \({{P}_{0}}\) e raggio \(\delta \), dove per palla si intende una circonferenza nel piano, una sfera nello spazio, una iperfesfera in più di tre dimensioni.
\(\Omega =\left\{ \left( x,y \right)\in {{\mathbb{R}}^{2}}:\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 3,\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge 1 \right\}={{B}_{\sqrt{3}}}\left( 0,0 \right)/{{B}_{1}}\left( 0,0 \right)\)  non è semplicemente connesso.
\(\Omega =\left\{ \left( x,y \right)\in {{\mathbb{R}}^{2}}/\left( 0,0 \right):\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 3 \right\}={{B}_{\sqrt{3}}}\left( 0,0 \right)/\left\{ \left( 0,0 \right) \right\}\) non è semplicemente connesso
\(\Omega =\left\{ \left( x,y \right)\in {{\mathbb{R}}^{2}}:\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 3 \right\}={{B}_{\sqrt{3}}}\left( 0,0 \right)\) è semplicemente connesso.
In n=3 volumi semplicemente connessi possono contenere bolle, ma non possono essere fatte a forma di ciambella (esempio: il toro)
\(\Omega =\left\{ \left( x,y \right)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\le 3,\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\ge 1 \right\}={{B}_{\sqrt{3}}}\left( 0,0,0 \right)/{{B}_{1}}\left( 0,0,0 \right)\)  è semplicemente connesso.
\(\Omega =\left\{ \left( x,y \right)\in {{\mathbb{R}}^{3}}/\left( 0,0,0 \right):\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\le 3 \right\}={{B}_{\sqrt{3}}}\left( 0,0,0 \right)/\left\{ \left( 0,0,0 \right) \right\}\) non è semplicemente connesso
\(\Omega =\left\{ \left( x,y \right)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\le 3 \right\}={{B}_{\sqrt{3}}}\left( 0,0,0 \right)\) è semplicemente connesso.
\(\Omega =\left\{ \left( x,y,z \right)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\le 3\,,\,\,\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge 1\, \right\}\)  non è semplicemente connesso

TEOREMA – CONDIZIONE SUFFICIENTE PER CLASSIFICARE CAMPI CONSERVATIVI

Se \(\mathbf{F}:\Omega \to {{\mathbb{R}}^{n}}\) è un campo di classe \({{C}^{1}}\) irrotazionale e il suo dominio \(\Omega \) semplicemente connesso, allora \(\mathbf{F}\) è conservativo.

FORMULE DI GAUSS-GREEN NEL PIANO

Un dominio nel piano si dice semplice (o normale) se si può rappresentare in una di queste due forme:
1. \(D=\left\{ \left( x,y \right)\in {{\mathbb{R}}^{2}}:\,\,\,x\in \left[ a,b \right],\,\,\alpha \left( x \right)\le y\le \beta \left( x \right) \right\}\)
2. \(D=\left\{ \left( x,y \right)\in {{\mathbb{R}}^{2}}:\,\,\,y\in \left[ a,b \right],\,\,\alpha \left( y \right)\le x\le \beta \left( y \right) \right\}\)
Un dominio semplice (o normale)  si dice regolare se:
1. Nel primo caso se \(\alpha ,\beta \in {{C}^{1}}\left( \left[ a,b \right] \right)\)  e \(\alpha \left( x \right)<\beta \left( x \right)\,\,\,\forall x\in \left[ a,b \right]\)
2. Nel secondo caso se \(\alpha ,\beta \in {{C}^{1}}\left( \left[ a,b \right] \right)\)  e \(\alpha \left( y \right)<\beta \left( y \right)\,\,\,\forall x\in \left[ a,b \right]\)
Un dominio qualunque si dice regolare se è l’unione di un insieme finito di domini normali regolari \({{D}_{1}},{{D}_{2}},…,{{D}_{n}}\)  a due a due privi di punti interni in comune. Se \(D\) è un dominio regolare, la sua frontiera \(\partial D\) è l’unione di un numero finito di curve regolari a tratti.
L’orientazione positiva della frontiera \(\partial {{D}^{+}}\)è quella che fa si che un osservatore immaginario che la percorre vede sempre il dominio alla sua sinistra.

direzione positiva di percorrenza del bordo di un dominio

Matematicamente si ha che la direzione positiva di percorrenza della frontiera del dominio \(\partial {{D}^{+}}\)è tale che il versore normale alla curva punta verso l’esterno dell’insieme \(D\) .
Versore tangente alla curva nel piano: \(\mathbf{T}=\left( \frac{{x}’\left( t \right)}{\sqrt{{{\left( {x}’\left( t \right) \right)}^{2}}+{{\left( {y}’\left( t \right) \right)}^{2}}}},\frac{{y}’\left( t \right)}{\sqrt{{{\left( {x}’\left( t \right) \right)}^{2}}+{{\left( {y}’\left( t \right) \right)}^{2}}}} \right)\)
Versore normale alla curva nel piano: \(\mathbf{N}=\left( \frac{{y}’\left( t \right)}{\sqrt{{{\left( {x}’\left( t \right) \right)}^{2}}+{{\left( {y}’\left( t \right) \right)}^{2}}}},-\frac{{x}’\left( t \right)}{\sqrt{{{\left( {x}’\left( t \right) \right)}^{2}}+{{\left( {y}’\left( t \right) \right)}^{2}}}} \right)\)
Sia \(\mathbf{F}:D\to {{\mathbb{R}}^{2}}\) un campo continuo, calcolare l’integrale di \(\mathbf{F}\) lungo il bordo del dominio \(\partial {{D}^{+}}\)orientato positivamente si intende:
\(\int_{\partial {{D}^{+}}}{\mathbf{F}\,\bullet \,d\mathbf{l}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\int_{{{\gamma }_{i}}}{\mathbf{F}\,\bullet \,d\mathbf{l}}}\)
Dove \(\partial {{D}^{+}}=\bigcup\limits_{i=1}^{n}{\,{{\gamma }_{i}}}\), dove le\({{\gamma }_{i}}\)sono curve regolari a tratti orientate positivamente rispetto al dominio \(D\) .
Analogamente data una funzione \(f:D\to \mathbb{R}\) continua
\(\int_{\partial {{D}^{+}}}{f\,dx}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\int_{{{\gamma }_{i}}}{f\,\,dx}}\) e \(\int_{\partial {{D}^{+}}}{f\,dy}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\int_{{{\gamma }_{i}}}{f\,\,dy}}\)

FORMULE DI GAUSS-GREEN

Sia \(D\subseteq \mathbb{R}\) un dominio regolare e sia \(f:D\to \mathbb{R}\) una funzione di classe \({{C}^{1}}\) . Valgono allora le seguenti formule:
1. \(\int_{D}{\frac{\partial f}{\partial x}dx\,dy}=\int_{\partial {{D}^{+}}}{f\,dy}\)
2. \(\int_{D}{\frac{\partial f}{\partial y}dx\,dy}=-\int_{\partial {{D}^{+}}}{f\,dx}\)

CALCOLO DELL’AREA DI UN DOMINIO REGOLARE ATTRAVERSO GAUSS-GREEN

L’area di un dominio regolare può essere calcolata sfruttando le formule di gauss green:
1. \(m\left( D \right)=\int_{D}{dx\,dy}=\int_{D}{1\cdot dx\,dy}=\int_{D}{\frac{\partial f}{\partial x}dx\,dy}=\int_{\partial {{D}^{+}}}{x\,dy}\)     (scegliendo come primitiva di 1, \(f=x\) )
2. \(m\left( D \right)=\int_{D}{dx\,dy}=\int_{D}{1\cdot dx\,dy}=\int_{D}{\frac{\partial f}{\partial y}dx\,dy}=-\int_{\partial {{D}^{+}}}{y\,dx}\)  (scegliendo come primitiva di 1, \(f=y\))
Da cui: \(\left\{ \begin{align}  & m\left( D \right)=\int_{\partial {{D}^{+}}}{x\,dy} \\
& m\left( D \right)=-\int_{\partial {{D}^{+}}}{y\,dx} \\ \end{align}\right.\,\,\Rightarrow 2m\left( D \right)=\int_{\partial {{D}^{+}}}{x\,dy}-\int_{\partial {{D}^{+}}}{y\,dx}\,\,\Rightarrow \,\,m\left( D \right)=\frac{1}{2}\int_{\partial {{D}^{+}}}{x\,dy-y\,dx}\)

TEOREMA DI STOCKES NEL PIANO

Sia \(\mathbf{F}:D\to {{\mathbb{R}}^{2}}\) un campo di classe \({{C}^{1}}\) su un dominio regolare \(D\subseteq {{\mathbb{R}}^{2}}\) , con\(\mathbf{F}\left( x,y \right)=\left( u\left( x,y \right),v\left( x,y \right) \right)\) , si ha che
\(\int_{D}{\nabla \times \mathbf{F}\,dx\,dy}=\int_{D}{{{v}_{x}}-{{u}_{y}}\,dx\,dy}=\int_{\partial {{D}^{+}}}{\mathbf{F}\,\bullet \,d\mathbf{l}}\)
Si dimostra molto semplicemente attraverso le formule di Gauss-Green
\(\int_{\partial {{D}^{+}}}{\mathbf{F}\,\bullet \,d\mathbf{l}}=\int_{\partial {{D}^{+}}}{u\,dx\,+v\,dy}=\int_{\partial {{D}^{+}}}{u\,dx\,}+\int_{\partial {{D}^{+}}}{v\,dy}=-\int_{D}{{{u}_{y}}\,dx\,dy\,}+\int_{D}{{{v}_{x}}\,dx\,dy\,\,}\)

Esercizio svolto – calcolo dell’integrale curvilineo di un campo su una curva

Calcolare l’integrale curvilineo del campo \(F=\left( \frac{{{x}^{2}}y+{{y}^{3}}+y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}},\frac{x{{y}^{2}}+{{x}^{3}}-x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right)\) lungo il bordo del quadrato \(Q=\left[ -1,1 \right]\times \left[ -1,1 \right]\) percorso in senso antiorario e dire se il campo è conservativo.

 Soluzione

Una parametrizzazione del quadrato è data da:

\({{\gamma }_{1}}=\left( 1,t \right)\,\,\,,\,\,t\in \left[ -1,1 \right]\,\,\,\,\,\,{{\gamma }_{1}}^{\prime }=\left( 0,1 \right)\)

\({{\gamma }_{2}}=\left( t,1 \right)\,\,\,,\,\,t\in \left[ 1,-1 \right]\,\,\,\,\,\,{{\gamma }_{2}}^{\prime }=\left( 1,0 \right)\)

\({{\gamma }_{3}}=\left( -1,t \right)\,\,\,,\,\,t\in \left[ 1,-1 \right]\,\,\,\,\,\,{{\gamma }_{3}}^{\prime }=\left( 0,1 \right)\)

\({{\gamma }_{4}}=\left( t,-1 \right)\,\,\,,\,\,t\in \left[ -1,1 \right]\,\,\,\,\,\,{{\gamma }_{3}}^{\prime }=\left( 1,0 \right)\)

\(\gamma ={{\gamma }_{1}}\oplus {{\gamma }_{2}}\oplus {{\gamma }_{3}}\oplus {{\gamma }_{4}}\)

\(d\mathbf{l}={\gamma }’dt\)

\(\int\limits_{\gamma }{\mathbf{F}\,\centerdot \,\,d\mathbf{l}}=\int\limits_{{{\gamma }_{1}}}{\mathbf{F}}\centerdot d\mathbf{l}+\int\limits_{{{\gamma }_{2}}}{\mathbf{F}\centerdot d\mathbf{l}}+\int\limits_{{{\gamma }_{3}}}{\mathbf{F}\centerdot d\mathbf{l}}+\int\limits_{{{\gamma }_{4}}}{\mathbf{F}\centerdot d\mathbf{l}}\)

\(\int\limits_{-1}^{1}{\frac{{{t}^{2}}+1-1}{{{t}^{2}}+1}dt}+\int\limits_{1}^{-1}{\frac{{{t}^{2}}+1+1}{{{t}^{2}}+1}dt+}\int\limits_{1}^{-1}{\frac{{{t}^{2}}-1+1}{{{t}^{2}}+1}dt+}\int\limits_{-1}^{1}{\frac{{{t}^{2}}-1-1}{{{t}^{2}}+1}dt}\)

\(\int\limits_{-1}^{1}{1-\frac{1}{{{t}^{2}}+1}dt}-\int\limits_{-1}^{1}{1+\frac{1}{{{t}^{2}}+1}dt-}\int\limits_{-1}^{1}{1-\frac{1}{{{t}^{2}}+1}dt+}\int\limits_{-1}^{1}{1-\frac{3}{{{t}^{2}}+1}dt}\)

\(-\int\limits_{-1}^{1}{\frac{1}{{{t}^{2}}+1}dt}-\int\limits_{-1}^{1}{\frac{1}{{{t}^{2}}+1}dt+}\int\limits_{-1}^{1}{\frac{1}{{{t}^{2}}+1}dt}-\int\limits_{-1}^{1}{\frac{3}{{{t}^{2}}+1}dt}=-4\int\limits_{-1}^{1}{\frac{1}{{{t}^{2}}+1}dt}=\left[ -4\arctan t \right]_{-1}^{1}=-2\pi \)

Il campo non è conservativo perché la circuitazione su un percorso chiuso è diversa da zero.

Lezioni di Analisi Matematica 2