La posizione di una particella varia con il tempo secondo l’equazione:
\[ x(t)=\alpha t (1-\beta t)\]
dove 𝛼 e 𝛽 sono due costanti, con 𝛽 > 0.
Determina:
a) la velocità e l’accelerazione della particella in funzione del tempo;
b) l’intervallo di tempo necessario alla particella, che parte dall’origine, per ritornare nell’origine e lo spazio percorso in questo intervallo di tempo.
Continua a leggere la soluzione del quesito 2 – Simulazione maturità scientifica 2019 – prova multidisciplinare che aggiunge la fisica alla tradizionale matematica – 26 novembre 2019 – MIUR
a) La velocità e l’accelerazione corrispondono rispettivamente alla derivata prima e alla derivata seconda di x(t)
\(v(t)=x'(t)=\alpha -2\alpha \beta t\)
\(a(t)=x”(t)=-2\alpha \beta \)
b) Ripassa dall’origine quando \(x(t)=0\)
\(0=\alpha t(1-\beta t)\) ammette due soluzioni, una è t=0 che coincide con l’istante iniziale e l’altra è \(t=\frac{1}{\beta }\) che corrisponde con l’istante temporale cercato.
La massima distanza dall’origine viene raggiunta quando la velocità si annulla v(t)=0, ovvero \(0=\alpha -2\alpha \beta t\)\(\Rightarrow\) \(t=\frac{1}{2\beta }\) , da cui ottengo \({{x}_{\max }}=x(\frac{1}{2\beta })=\alpha \frac{1}{2\beta }(1-\beta \frac{1}{2\beta })=\frac{\alpha }{4\beta }\)
Lo spazio percorso è pari a \(d=2{{x}_{\max }}=\frac{\alpha }{2\beta }\)
Osservazione: Si tratta di un moto uniformemente accelerato visto che la legge oraria è un polinomio di secondo grado nella variabile t (ricordando che la legge oraria di un moto uniformemente accelerato è \(x(t)={{x}_{0}}+{{v}_{0}}t+\frac{1}{2}a\,{{t}^{2}}\)) e poteva essere studiato come tale.
