PROBLEMA 1
Hai giocato con il tuo fratellino con un trenino elettrico da lui ricevuto in regalo per il compleanno. Osservandolo, più volte ti sei chiesto quale sia il principio di funzionamento delle varie parti. In particolare hai osservato che quando un vagone viene immesso in un binario morto, nei pressi del respingente finale il vagone subisce un forte rallentamento fino quasi a fermarsi; questo consente al vagone di raggiungere il respingente finale con velocità molto bassa e quindi di colpirlo senza conseguenze.
Per capire il funzionamento di questo freno, hai analizzato in dettaglio il binario morto e un vagone; hai notato che sulla parte finale del binario morto è presente un piccolo magnete permanente di forma quadrata di lato 𝐿=5,0𝑐𝑚 fissato tra le due rotaie del binario. Inoltre sul fondo del vagone è presente una cornice quadrata di dimensione uguale al magnete su cui è avvolto un filo a formare una spira quadrata di resistenza elettrica 𝑅=0,020Ω. Analizzando il moto del vagone hai compreso che quando il vagone passa sopra il magnete, anche la spira passa sopra il magnete (come mostrato in figura) e che in questo passaggio il vagone rallenta.
1. Spiega qualitativamente l’origine della azione frenante dovuta al passaggio della spira sopra al magnete.
Soluzione prima domanda
Nella spira, man mano che essa entra nella regione dov’è presente il campo magnetico, varia il flusso del campo magnetico attraverso di essa, quindi, come garantito dalla Legge di Faraday, si genera una fem indotta che fa rallentare la spira e il vagone ad essa collegato.
Quindi l’origine dell’azione frenante è di natura elettromagnetica.
Sulla spira, essendo essa chiusa, circolerà una corrente elettrica il cui verso deve ubbidire alla Legge di Fraday-Newmann-Lenz. La spira-vagone rallenterà perché i lati della spira perpendicolari ai binari subiranno una forza descritta dalla Legge di Laplace (forza agente su un filo percorso da un’intensità di corrente elettrica immerso in un campo magnetico).
2. Assumendo che il magnete permanente generi sopra di sé un campo magnetico 𝐵=0,85𝑇 uniforme, perpendicolare al magnete stesso (e quindi anche alla spira) e trascurando tutti gli effetti di bordo, dimostra che l’equazione del moto della spira durante il passaggio sul magnete è:
\[𝑚\frac{𝑑𝑣}{𝑑𝑡}=−\frac{𝐵^2𝐿^2}{𝑅}𝑣 \] dove \(𝑚=50𝑔\) è la massa del vagone.
Soluzione seconda domanda
In un certo istante di tempo t la superficie della spira immersa nel campo magnetico ha area \( \Sigma(t)= L \cdot s(t)\) , dove s(t) indica la posizione che occupa il lato più avanzato della spira all’istante t.
Poiché \(fem(t) = − \frac{d\Phi_B (t)}{dt}\) allora si ha che \(fem(t) = −\frac{d(B \cdot Ls(t))}{dt}\), derivando rispetto al tempo si ha: \(fem(t) = −B \cdot L \cdot \frac{ds(t)}{dt}\) ed infine \(fem(t) = −BLv(t) \),
Nella spira circolerà una corrente i(t) che può essere calcolata in base alla prima Legge di Ohm.
\[i(t) = \frac{fem(t)}{R}=− \frac{BLv(t)}{R} \]
La forza di natura elettromagnetica indotta sulla spira è descritta dalla Legge di Laplace \(\overrightarrow{F}(t) = i(t)\cdot \overrightarrow{L}×\overrightarrow{B}\) da cui si ha che:
\[F(t)= −\frac{B^2L^2}{R}v(t)\]
Per il secondo Principio della dinamica ottengo:
\(m \cdot a(t) = − \frac{B^2L^2}{R} \cdot v(t)\) \(\Rightarrow\) \(m \cdot \frac{dv(t)}{dt}= − \frac{B^2L^2}{R}v(t)\), dove con a(t) abbiamo indicato l’accelerazione della spira nell’istante di tempo t.
3. Verifica che l’equazione del moto ha come soluzione \(𝑣=𝑣_0 \cdot 𝑒^{−𝑡/𝜏} \) dove \(𝑣_0\) è la velocità del vagone (e quindi della spira) quando entra nel campo del magnete permanente, esprimendo la costante 𝜏 in termini delle altre grandezze presenti nell’equazione del moto e calcolandone il valore numerico.
Soluzione terza domanda
Si tratta di risolvere un’equazione differenziale a variabili separabili
\(mv′ = − \frac{B^2 L^2}{R}\cdot v\) \(\Rightarrow\) \(\frac{v′}{v}= − \frac{B^2L^2}{m\cdot R}\) \(\Rightarrow\) \(ln \left|v \right| = −\frac{B^2L^2}{m \cdot R} t + c , \, c ∈ \mathbb{R}- \left \{ 0\right \}\) \(\Rightarrow\) \(v = ±e^c \cdot e^{− \frac{B^2L^2}{mR}\cdot t}\) \(\Rightarrow\) \(v = k·e^{\frac{− B^2L^2}{mR}t}\),\(k ∈\mathbb{R}\)\{0}.
Poiché v = 0 è soluzione particolare, la soluzione generale dell’equazione differenziale è
\(v = k·e^{− \frac{B^2L^2}{m\cdot R} t}\) con \(k ∈\mathbb{R}\)/{0}.
Poiché \(v(0) = v_0\) , ottengo \(k = v_0\) per cui il problema di Cauchy
\(\left\{\begin{matrix} mv′ = − \frac{B^2 L^2}{R}\cdot v \\ v(0)=v_0 \end{matrix}\right.\)
ammette come soluzione \(v = v_0·e^{− \frac{B^2L^2}{m\cdot R} t}\). Posto \(\frac{m\cdot R}{B^2L^2} = τ \), posso riscrivere la soluzione nella forma attesa, ovvero \(v = v_0\cdot e^{−\frac{t}{τ}}\).
Per finire calcoliamo il valore numerico di τ:
\(τ=\frac{m\cdot R}{B^2L^2} = \frac{5,0·10^{−2} \cdot 2,0\cdot 10^{−2}}{0,85^2 \cdot (5,0 \cdot 10^{ −2 })^2 }= 0,55 s\) .
4. Assumendo per la velocità iniziale il valore \(𝑣_0 =0,20 \frac{𝑚}{𝑠} \), determina il tempo che la spira impiega ad attraversare completamente il magnete e la velocità che essa ha dopo aver attraversato il magnete.
Soluzione quarta domanda
Dal punto precedente abbiamo calcolato la legge oraria della velocità. Per rispondere a questa domanda occorre calcolare la legge oraria dello spazio. Per fare ciò possiamo ricavare il problema di Cauchy a partire dalla velocità ricordando che essa è la derivata rispetto al tempo dello spazio \(v=s’\)
\(\left\{\begin{matrix} s’=v= v_0\cdot e^{−\frac{t}{τ}} \\ s(0)=0 \end{matrix}\right.\)
La soluzione si ottiene integrando entrambi i membri della prima equazione:
\(\int ds = \int v_0\cdot e^{−\frac{t}{τ}} dt\) \(\Rightarrow\) \(s=-\tau \cdot v_0 \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}+c, \,c∈\mathbb{R}\)
Poichè s(0)=0 si ha che \(c=v_0 \tau\) , e la funzione che risolve il problema di Cauchy è \(s(t) = v_0 τ (1− e^{ −\frac{t}{τ}})\)
La spira attraverserà completamente il magnete quando \(s(\overline{t}) = 2L \), in corrispondenza dell’istante temporale \( \overline{t}\) che si ottiene risolvendo l’equazione e vale \( \overline{t} =1,3s\).
La velocità di uscita del vagone è la velocità all’istante \(\overline{t}\), ovvero v(1,3) = 0,019 m/s .
5. Dimostra che se la velocità iniziale \(𝑣_0\) è inferiore ad un valore limite, la spira non riesce a superare il magnete permanente: in queste condizioni il freno agisce come un blocco insormontabile per il vagone. Determina il valore numerico della velocità limite.
Soluzione quinta domanda
La velocità limite si ha quando in un tempo infinito lo spazio percorso è esattamente pari a 2L, quindi bisogna imporre che \(\underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }} s\left( t \right)=2L\) \(Rigtharrow\) \(\underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }} v_{lim} τ (1− e^{ −\frac{t}{τ}})=v_{lim} τ=2L\)
Da cui \(v_{lim}=\frac{2L}{τ}=0,18m/s\)