Quesito 1 – Simulazione Seconda prova scientifica 2019 mista matematica + fisica
Una spira a forma di parabola di equazione \(𝑦 = 𝑎\cdot 𝑥^2\) è immersa in un campo magnetico uniforme B perpendicolare al piano xy della parabola. All’istante \(𝑡 = 0\) una barretta inizia a traslare lungo la parabola partendo dal suo vertice con accelerazione costante come indicato in figura. Determinare la forza elettromotrice indotta sulla spira in funzione della y.
Continua a leggere la Soluzione del quesito 1 Simulazione della seconda prova per la maturità scientifica 2019 – Prova multidisciplinare matematica – fisica
Soluzione
Senza dubbio la sbarretta forma un circuito chiuso con l’arco di parabola sottostante.
Il campo magnetico è uniforme, ma per effetto della traslazione della sbarretta si ha una variazione della superficie compresa tra la sbarretta e l’arco di parabola S(t) e di conseguenza una variazione di flusso magnetico che indurrà lungo la spira una forza elettromotrice come previsto dalla legge di Faraday-Newmann-Lenz.
\[fem=-\frac{d{{\phi }_{B}}}{dt}\]
Il flusso magnetico attraverso la superficie della spira vale: \({{\phi }_{B}}=S(t)B\) essendo il campo magnetico perpendicolare alla spira.
\(S(t)=2y(t)x(t)-\int\limits_{-x(t)}^{x(t)}{a\,{{\left[ x(t) \right]}^{2}}dx}=2y(t)x(t)-2a\,\frac{{{\left[ x(t) \right]}^{3}}}{3}\)
A questo punto tenendo presente che $y=a{{x}^{2}}$ e siccome vogliamo scrivere tutto in funzione di y, si ha che \(x=\sqrt{\frac{y}{a}}\) e sostituendo nell’espressione della superficie
\(S(t)=2y(t)\sqrt{\frac{y(t)}{a}}-\,\frac{2}{3}y(t)\sqrt{\frac{y(t)}{a}}=\frac{4}{3\sqrt{a}}{{\left[ y(t) \right]}^{3/2}}\)
Ritornando alla fem indotta nella spira:
\(fem=-\frac{d{{\phi }_{B}}}{dt}=-\frac{d}{dt}\left( \frac{4}{3\sqrt{a}}{{\left[ y(t) \right]}^{3/2}}B \right)=-\frac{4}{3\sqrt{a}}\frac{3}{2}{{\left[ y(t) \right]}^{1/2}}y'(t)B=-\frac{2B}{\sqrt{a}}\sqrt{y(t)}\,y'(t)\)
Notando che la derivata rispetto al tempo di y(t) rappresenta la velocità della sbarretta, possiamo finalmente scrivere la forza elettromotrice indotta nella spira in funzione di y
\[fem(y)=-2B\omega \sqrt{\frac{y}{a}}\]
Curiosità: Il Quesito 1 – Simulazione Seconda prova scientifica 2019 mista matematica + fisica – Risulta copiato da un testo russo (Irodov)
Come mostrato nella figura, in cui si riporta lo screen del testo originale dell’esercizio, il quesito 1, come anche il quesito 5, sono stati copiati dal testo russo I. E. lrodov. Problems in General. Physics. Mir Publishers Moscow 1981.
