Soluzione del quesito 3 – Simulazione maturità scientifica 2019

Quesito 3 – Simulazione Seconda prova scientifica 2019 mista matematica + fisica

3.  Tre cariche puntiformi di valore q sono poste ai vertici del triangolo equilatero ABC, i cui lati
misurano 1m.
a) Determina l’energia potenziale del sistema.
b) La carica collocata in C viene spostata verso il segmento AB lungo la perpendicolare ad AB; traccia il grafico dell’andamento dell’energia potenziale del sistema in funzione della distanza della carica dal segmento AB.

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Soluzione

a)  \(U=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\left( \frac{{{q}_{A}}{{q}_{B}}}{\overline{AB}}+\frac{{{q}_{A}}{{q}_{C}}}{\overline{AC}}+\frac{{{q}_{B}}{{q}_{C}}}{\overline{BC}} \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}3{{q}^{2}}\) dove si è considerato che le cariche sono tutte uguali e pari a q e le distanze tra i vertici, sono tutte uguali essendo il triangolo equilatero e unitarie \(\overline{AB}=\overline{AC}=\overline{BC}=1\)

b) Chiamata x la distanza del vertice C dal lato \(\overline{AB}\) come indicato dalla traccia, il triangolo diventa isoscele con \(\overline{AC}=\overline{BC}=\sqrt{{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{x}^{2}}}=\frac{1}{2}\sqrt{1+4{{x}^{2}}}\). Per calcolare i due lati uguali del triangolo abbiamo utilizzato il teorema di Pitagora.

\(U=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\left( \frac{{{q}_{A}}{{q}_{B}}}{\overline{AB}}+\frac{{{q}_{A}}{{q}_{C}}}{\overline{AC}}+\frac{{{q}_{B}}{{q}_{C}}}{\overline{BC}} \right)=\frac{{{q}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\left( 1+\frac{4}{\sqrt{1+4{{x}^{2}}}} \right)\)

Il grafico richiesto può essere costruito studiando la funzione \(f\left( x \right)=1+\frac{4}{\sqrt{1+4{{x}^{2}}}}\) nell’intervallo \((0,+\infty )\) e osservando che si tratta di una funzione monotona decrescente e che \(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=1\)

grafico quesito 3 - simulazione maturità scientifica 2019

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Soluzione quesito 2

Soluzione quesito 4

Professore di teoria dei segnali e analisi matematica


Professore Casparriello Marco

Esperto in didattica di Analisi Matematica e Teoria dei Segnali

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