Soluzione del quesito 4 – Simulazione maturità scientifica 2019

Quesito 4 – Simulazione Seconda prova scientifica 2019 mista matematica + fisica

4.  Un punto materiale si muove nel piano xy secondo la legge oraria:

\(𝑥 = 𝑎 \cdot 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡),\, 𝑦 = 𝑎(1 − 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡))\),
con a e 𝜔 costanti positive. Determina la distanza del punto dall’origine al tempo \(𝑡 = 𝜏\) e le direzioni dei vettori velocità e accelerazione all’istante \(𝑡 = 0\).

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    Soluzione

La traccia fornisce le leggi orarie nel piano cartesiano del punto materiale in funzione del tempo. All’istante t=𝜏 abbiamo che

\(x\left( \tau  \right)=a\,\sin (\omega \tau ),\,y(\tau )=a(1-\cos (\omega \tau ))\)

La distanza del punto dall’origine degli assi può essere calcolata attraverso il teorema di Pitagora:

\(d=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\sqrt{{{\left[ a\,\sin (\omega t) \right]}^{2}}+{{\left[ a\,-a\cos (\omega t) \right]}^{2}}}=a\sqrt{{{\sin }^{2}}(\omega \tau )+1+{{\cos }^{2}}(\omega \tau )-2\cos (\omega \tau )}\)

Da cui considerando che \({{\sin }^{2}}\left( \omega \tau  \right)+{{\cos }^{2}}\left( \omega \tau  \right)=1\) e che si ha:

\(d=a\sqrt{2-2\cos (\omega \tau )}\)

Per quanto riguarda velocità e accelerazione, calcoliamo prima velocità e accelerazione lungo l’asse x e lungo l’asse y al tempo zero e poi ne calcoliamo la direzione.

\({{v}_{x}}\left( t \right)=x’\left( t \right)=a\omega \cos (\omega t)\)   \(\Rightarrow \)  \({{v}_{x}}\left( 0 \right)=a\omega \cos (0)=a\omega \)

\({{v}_{y}}\left( t \right)=y’\left( t \right)=a\omega \sin (\omega t)\)   \(\Rightarrow \)  \({{v}_{y}}\left( 0 \right)=a\omega \sin (0)=0\)

Per la direzione del vettore velocità si ha che \({{v}_{x}}\ne 0\) , \({{v}_{y}}=0\) , quindi la direzione è parallela all’asse x.

\({{a}_{x}}\left( t \right)=v’\left( t \right)=-a{{\omega }^{2}}\sin (\omega t)\)   \(\Rightarrow \) \({{v}_{x}}\left( 0 \right)=-a{{\omega }^{2}}\sin (0)=0\)

\({{v}_{y}}\left( t \right)=y’\left( t \right)=a\omega \cos (\omega t)\)   \(\Rightarrow \) \({{v}_{y}}\left( 0 \right)=a{{\omega }^{2}}\cos (0)=a{{\omega }^{2}}\)

Per la direzione del vettore accelerazione si ha che \({{a}_{x}}=0\) , \({{a}_{y}}\ne 0\) , quindi la direzione è parallela all’asse y.

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Soluzione quesito 3

Soluzione quesito 5

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Professore di teoria dei segnali e analisi matematica


Professore Casparriello Marco

Esperto in didattica di Analisi Matematica e Teoria dei Segnali

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