Un punto materiale si muove nel piano xy secondo la legge oraria:
\(𝑥 = 𝑎 \cdot 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡),\, 𝑦 = 𝑎(1 − 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡))\),
con a e 𝜔 costanti positive. Determina la distanza del punto dall’origine al tempo \(𝑡 = 𝜏\) e le direzioni dei vettori velocità e accelerazione all’istante \(𝑡 = 0\).
Continua a leggere la soluzione del quesito 4 – Simulazione maturità scientifica 2019 – prova multidisciplinare che aggiunge la fisica alla tradizionale matematica – 26 novembre 2019 – MIUR
La traccia fornisce le leggi orarie nel piano cartesiano del punto materiale in funzione del tempo. All’istante t=𝜏 abbiamo che
\(x\left( \tau \right)=a\,\sin (\omega \tau ),\,y(\tau )=a(1-\cos (\omega \tau ))\)
La distanza del punto dall’origine degli assi può essere calcolata attraverso il teorema di Pitagora:
\(d=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\sqrt{{{\left[ a\,\sin (\omega t) \right]}^{2}}+{{\left[ a\,-a\cos (\omega t) \right]}^{2}}}=a\sqrt{{{\sin }^{2}}(\omega \tau )+1+{{\cos }^{2}}(\omega \tau )-2\cos (\omega \tau )}\)
Da cui considerando che \({{\sin }^{2}}\left( \omega \tau \right)+{{\cos }^{2}}\left( \omega \tau \right)=1\) e che si ha:
\(d=a\sqrt{2-2\cos (\omega \tau )}\)
Per quanto riguarda velocità e accelerazione, calcoliamo prima velocità e accelerazione lungo l’asse x e lungo l’asse y al tempo zero e poi ne calcoliamo la direzione.
\({{v}_{x}}\left( t \right)=x’\left( t \right)=a\omega \cos (\omega t)\) \(\Rightarrow \) \({{v}_{x}}\left( 0 \right)=a\omega \cos (0)=a\omega \)
\({{v}_{y}}\left( t \right)=y’\left( t \right)=a\omega \sin (\omega t)\) \(\Rightarrow \) \({{v}_{y}}\left( 0 \right)=a\omega \sin (0)=0\)
Per la direzione del vettore velocità si ha che \({{v}_{x}}\ne 0\) , \({{v}_{y}}=0\) , quindi la direzione è parallela all’asse x.
\({{a}_{x}}\left( t \right)=v’\left( t \right)=-a{{\omega }^{2}}\sin (\omega t)\) \(\Rightarrow \) \({{v}_{x}}\left( 0 \right)=-a{{\omega }^{2}}\sin (0)=0\)
\({{v}_{y}}\left( t \right)=y’\left( t \right)=a\omega \cos (\omega t)\) \(\Rightarrow \) \({{v}_{y}}\left( 0 \right)=a{{\omega }^{2}}\cos (0)=a{{\omega }^{2}}\)
Per la direzione del vettore accelerazione si ha che \({{a}_{x}}=0\) , \({{a}_{y}}\ne 0\) , quindi la direzione è parallela all’asse y.
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