Quanto tempo impiegherà un’onda sonora a percorrere la distanza l tra i punti A e B se la temperatura dell’aria tra di essi varia linearmente da T1 a T2? Tieni presente che la velocità di propagazione nell’aria varia in funzione della temperatura secondo la legge:
\[v=a \cdot \sqrt{T}\]
dove a è una costante.
Continua a leggere la soluzione del quesito 6 – Simulazione maturità scientifica 2019 – prova multidisciplinare che aggiunge la fisica alla tradizionale matematica – 26 novembre 2019 – MIUR
La temperatura può essere espressa come una funzione lineare del tempo, ovvero una retta che nell’intervallo temporale che va da \({{x}_{A}}\) a \({{x}_{B}}\) , varia tra T1 e T2
\(T({{x}_{A}})={{T}_{1}}\)
\(T\left( {{x}_{B}} \right)={{T}_{2}}\)
Per cui la legge oraria della temperatura è data dalla seguente espressione:
\(\frac{T(x)-{{T}_{1}}}{{{T}_{2}}-{{T}_{1}}}=\frac{x-{{x}_{A}}}{{{x}_{B}}-{{x}_{A}}}\) \(\Rightarrow\) \(T(x)={{T}_{1}}+\left( {{T}_{2}}-{{T}_{1}} \right)\frac{x-{{x}_{A}}}{{{x}_{B}}-{{x}_{A}}}\)
Indicando con \(\Delta T={{T}_{2}}-{{T}_{1}}\) la variazione di temperatura e con \(\Delta x={{x}_{B}}-{{x}_{A}}\) l’espressione diventa:
\(T(x)={{T}_{1}}+\frac{\Delta T}{\Delta x}\left( x-{{x}_{A}} \right)\)
E la sua derivata \(T’=\frac{\Delta T}{\Delta x}\)
Lo spostamento in termini di differenziali è dato dall’equazione:
\(dx=vdt=a\sqrt{T}dt\) \(\Rightarrow \) \(dt=\frac{dx}{a\sqrt{T}}=\frac{1}{a}{{T}^{-1/2}}\)
Integrando entrambi i membri si ha:
\(\int\limits_{0}^{\Delta t}{dt}=\frac{1}{a}\int\limits_{{{x}_{A}}}^{{{x}_{B}}}{{{\left[ T\left( x \right) \right]}^{-\frac{1}{2}}}dx}\)
Moltiplicando e dividendo il secondo integrale per la derivata di $T(x)$ che è una costante, si ottiene un integrale semimmediato:
\(\Delta t=\frac{1}{a\,T’}\int\limits_{{{x}_{A}}}^{{{x}_{B}}}{{{\left[ T\left( x \right) \right]}^{-\frac{1}{2}}}\cdot T’dx}=\frac{\Delta x}{a\,\Delta T}\left[ \frac{{{T}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{2}} \right]_{{{x}_{A}}}^{{{x}_{B}}}=\frac{\Delta x}{a\,\Delta T}\left[ 2\sqrt{T(x)} \right]_{{{x}_{A}}}^{{{x}_{B}}}\)
Quindi:
\(\Delta t=\frac{2\Delta x}{a\,\Delta T}\left( \sqrt{T({{x}_{B}})}-\sqrt{T({{x}_{B}})} \right)\)
A questo punto sostituisco l’espressione di T(x) nell’equazione:
\(\Delta t=\frac{2\Delta x}{a\,\Delta T}\left( \sqrt{{{T}_{2}}}-\sqrt{{{T}_{1}}} \right)=\frac{2\Delta x}{a\left( \sqrt{{{T}_{2}}}+\sqrt{{{T}_{1}}} \right)\,}\)
Nota: si poteva giungere più rapidamente alla conclusione se si integrava rispetto alla temperatura. Per fare ciò si poteva partire osservando che la temperatura è una funzione lineare dello spazio e quindi la sua derivata rispetto allo spazio vale:
\(\frac{dT}{dx}=\frac{\Delta T}{\Delta x}=\frac{{{T}_{B}}-{{T}_{A}}}{{{x}_{B}}-{{x}_{A}}}\) \(\Rightarrow \) \(dx=\frac{\Delta x}{\Delta T}dT\)
A questo punto si legano i differenziali del tempo e dello spazio attraverso l’equazione utilizzata nella soluzione precedente
\(dx=vdt=a\sqrt{T}dt\)
A questo punto sostituendo al differenziale dello spazio, quello della temperatura si ottiene l’equazione
\(\frac{\Delta x}{\Delta T}dT=a\sqrt{T}dt\) \(\Rightarrow \) \(dt=\frac{\Delta x}{\Delta T\,a\sqrt{T}}dT\)
Integrando entrambi i membri si arriva in maniera più elegante alla stessa conclusione di prima:
\(\int\limits_{0}^{\Delta t}{dt}=\frac{\Delta x}{\Delta T\,a}\int\limits_{{{T}_{1}}}^{{{T}_{2}}}{\frac{1}{\sqrt{T}}dT}=\frac{\Delta x}{\Delta T\,a}\left[ 2\sqrt{T} \right]_{{{T}_{1}}}^{{{T}_{2}}}=\frac{2\Delta x}{a\,\Delta T}\left( \sqrt{{{T}_{2}}}-\sqrt{{{T}_{1}}} \right)=\frac{2\Delta x}{a\left( \sqrt{{{T}_{2}}}+\sqrt{{{T}_{1}}} \right)\,}\)
