7. Il grafico riportato nella figura seguente potrebbe rappresentare l’andamento della velocità con cui una carica puntiforme si allontana per repulsione elettrostatica da un’altra carica puntiforme, fissa, di eguale segno? Motiva la tua risposta.
Continua a leggere la soluzione del quesito 7 – Simulazione maturità scientifica 2019 – prova multidisciplinare che aggiunge la fisica alla tradizionale matematica – 26 novembre 2019 – MIUR
Nella traccia non è specificato se quello in figura è un grafico della velocità in funzione del tempo o dello spazio. Poiché include l’origine, e poiché fisicamente non è possibile che due cariche partono dallo stesso punto (infatti a distanze molto piccole entrano in gioco forze nucleari che sono attrattive e non repulsive) assumiamo che il grafico sia in funzione del tempo, con il tempo che parte dall’istante t=0.
Indichiamo con q il valore della carica di ciascuna massa, r la distanza tra esse ed \({{r}_{0}}\) la distanza iniziale tra le due cariche.
Possiamo scrivere l’espressione del potenziale del campo elettrico generato dalla carica ferma in funzione della distanza:
\(V\left( r \right)={{k}_{0}}\frac{q}{r}\)
Assumendo che la seconda carica parte da ferma, l’energia cinetica è pari alla variazione di energia potenziale:
\(\frac{1}{2}m{{v}^{2}}={{k}_{0}}{{q}^{2}}\frac{1}{{{r}_{0}}}-{{k}_{0}}{{q}^{2}}\frac{1}{r}={{k}_{0}}{{q}^{2}}\left( \frac{1}{{{r}_{0}}}-\frac{1}{r} \right)\)
E quindi la velocità è legata alla distanza tra le due cariche dalla relazione:
\(v=\sqrt{\frac{2{{k}_{0}}{{q}^{2}}}{m}\left( \frac{1}{{{r}_{0}}}-\frac{1}{r} \right)}\)
La velocità raggiunge una velocità limite nello spazio e naturalmente questo vale anche nel tempo.
\(\underset{r\to \infty }{\mathop{\lim }}\,v=q\sqrt{\frac{2{{k}_{0}}}{m{{r}_{0}}}}\)
E visto che la distanza aumenta aumenta in funzione del tempo, si ha che \(r\to \infty \) \(\Rightarrow \) \(t\to \infty \) e quindi:
\(\underset{t\to \infty }{\mathop{\lim }}\,v=q\sqrt{\frac{2{{k}_{0}}}{m{{r}_{0}}}}\)
Naturalmente questo risultato esprime qualcosa che poteva essere previsto anche senza fare calcoli. Infatti aumentando la distanza tra le due cariche, in accordo con la legge di Coulomb, secondo la quale la forza è inversamente proporzionale al quadrato della distanza, si avrà che a distanza abbastanza grande, la forza di interazione tra le cariche diventa trascurabile, e il moto in assenza di forze è rettilineo uniforme.
La risposta alla domanda è NO, perché si prevede che la velocità deve tendere ad un asintoto orizzontale.
Inoltre l’incremento di velocità in due intervalli successivi di tempo dovrebbe essere sempre più piccolo, visto che la forza e di conseguenza l’accelerazione tendono a diminuire in funzione del tempo. Il grafico corretto della velocità al variare del tempo dovrebbe essere una funzione concava e non convessa.
