10. Esercizio svolto di integrale triplo svolto in coordinate cilindriche
$\iiint\limits_{A}{\frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}dxdydz}$ , $A=\{ (x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,z\ge 0,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le {{z}^{2}},{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\le 1\, \}$
Il volume compreso tra la superficie di una sfera ed un cono
Riscriviamo meglio l’insieme
$A=\{ (x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,z\ge 0,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le {{z}^{2}},{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 1-{{z}^{2}}\, \}$
$A=\{ (x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,z\ge 0,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le \min \{ {{z}^{2}},1-{{z}^{2}} \}\, \}$
Facciamo un cambio di coordinate per passare dalle cartesiane alle cilindriche
$ \begin{cases}x = \rho \cos \theta \\ y = \rho \sin \theta \\ z = z \end{cases} $
Dove:
– $\rho$ rappresenta la distanza radiale del punto dall’asse $z$,
– $\theta$ è l’angolo azimutale misurato dal semiasse positivo $x$ nel piano $xy$,
– $z$ è l’altezza del punto lungo l’asse $z$.
dove ricordiamo che $\rho \ge 0$ ,$0\le \theta \le 2\pi $ , $|\det J|=\rho $
L’insieme nel nuovo sistema di coordinate diventa:
${A}’=\{ (\rho ,\theta ,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,z\ge 0,{{\rho }^{2}}\le \min \{ {{z}^{2}},1-{{z}^{2}} \},\,0\le \theta \le 2\pi \, \}$
A questo punto andiamo all’integrale e facciamo il cambio di coordinate ricordandoci di moltiplicare la funzione integranda per il modulo del determinante della matrice Jacobiana.
$\iiint\limits_{A}{\frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}dxdydz}=$
$\iiint\limits_{{{A}’}}{\frac{1}{\rho }\rho d\rho d\theta dz}=$
$\iiint\limits_{{{A}’}}{d\rho d\theta dz}=$ volume di A’
L’insieme per come è fatto ci impone di spezzare l’integrale nella somma di due integrali.
$\iiint\limits_{{{A}’}}{d\rho d\theta dz}=$
$\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{z=0}^{1/\sqrt{2}}{\int\limits_{\rho =0}^{z}{d\rho }dz}d\theta }+\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{z=1/\sqrt{2}}^{1}{\int\limits_{\rho =0}^{\sqrt{1-{{z}^{2}}}}{d\rho }dz}d\theta }$
$\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{z=0}^{1/\sqrt{2}}{\int\limits_{\rho =0}^{z}{d\rho }dz}d\theta }=$
$2\pi \int\limits_{z=0}^{1/\sqrt{2}}{zdz}=\pi [ {{z}^{2}} ]=\frac{\pi }{2}$
$\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{z=1/\sqrt{2}}^{1}{\int\limits_{\rho =0}^{1-{{z}^{2}}}{d\rho }dz}d\theta }=$
$2\pi \int\limits_{z=1/\sqrt{2}}^{1}{\sqrt{1-{{z}^{2}}}dz}$
$=\frac{{{\pi }^{2}}}{4}-\frac{\pi }{2}$
$\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{z=0}^{1/\sqrt{2}}{\int\limits_{\rho =0}^{z}{d\rho }dz}d\theta }+\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{z=1/\sqrt{2}}^{1}{\int\limits_{\rho =0}^{\sqrt{1-{{z}^{2}}}}{d\rho }dz}d\theta }=\frac{\pi }{2}+\frac{{{\pi }^{2}}}{4}-\frac{\pi }{2}=\frac{{{\pi }^{2}}}{4}$
Il risultato dell’integrale triplo è quindi $\frac{{{\pi }^{2}}}{4}$.