Soluzione Quesito 7 – Simulazione Seconda prova scientifica 2 aprile 2019
Un protone, inizialmente in quiete, viene accelerato da una d.d.p. di 400 V ed entra, successivamente, in una regione che è sede di un campo magnetico uniforme e perpendicolare alla sua velocità.
La figura illustra un tratto semicircolare della traiettoria descritta dal protone (i quadretti hanno lato 1,00 m). Determinare l’intensità di \(\vec{B}\).
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Soluzione
Un protone di massa \({{m}_{p}}\) e carica \({{q}_{p}}\) viene accelerato da una d.d.p. di 400V quindi raggiunge la velocità \({{v}_{p}}\) che manterrà per tutto il tragitto, poiché il campo magnetico ha la proprietà di deviare la traiettoria ma non modificare la velocità. Il campo di induzione magnetica infatti esercita sul protone una forza ortogonale alla velocità, che determina un’accelerazione centripeta. La forza è costante, quindi il protone si muove all’interno del campo magnetico di moto circolare uniforme.
La velocità \({{v}_{p}}\) può essere calcolata mediante la conservazione dell’energia:
\({{q}_{p}}V=\frac{1}{2}{{m}_{p}}{{v}_{p}}^{2}\) \(\Rightarrow\) \({{v}_{p}}=\sqrt{\frac{2{{q}_{p}}V}{{{m}_{p}}}}\)
La forza centripeta è data dalla forza di Lorentz \(\vec{F}=q{{\vec{v}}_{p}}\times \vec{B}\) e poiché la velocità e il campo di induzione magnetica sono perpendicolari, l’espressione per il modulo della forza diventa \(F=q{{v}_{p}}B\). Per la seconda legge di Newton la forza e l’accelerazione (centripeta) sono legate da \(F=ma\) \(\Rightarrow \) \(a=\frac{F}{{{m}_{p}}}=\frac{q{{v}_{p}}B}{{{m}_{p}}}\) . In un moto circolare l’accelerazione centripeta è legata al raggio della traiettoria dalla relazione \(a=\frac{{{v}_{p}}^{2}}{R}\) .
Uguagliando le due espressioni dell’accelerazione centripeta ottenuta si ha che
\(\frac{q{{v}_{p}}B}{{{m}_{p}}}=\frac{{{v}_{p}}^{2}}{R}\) \(\Rightarrow \) \(B=\frac{{{m}_{p}}{{v}_{p}}}{{{q}_{p}}{{v}_{p}}R}\)
Il raggio della traiettoria può essere ricavato dal grafico e vale \(R=\sqrt{2}\).
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