PROBLEMA 1

Assegnate due costanti reali a e b (con \(a>0\)), si consideri la funzione 𝑞(𝑡) così definita:

\(q(t)=at\cdot {{e}^{bt}}\)

1.  A seconda dei possibili valori di a e b, discutere se nel grafico della funzione 𝑞 è presente un punto di massimo o di minimo. Determinare i valori di a e b in corrispondenza dei quali il grafico della funzione 𝑞(𝑡), in un piano cartesiano di coordinate (𝑡,𝑦), ha un massimo nel punto \(B\left( 2,\frac{8}{e} \right)\) 

2.  Assumendo, d’ora in avanti, di avere 𝑎=4 e 𝑏=−1/2, studiare la funzione

\[q(t)=4t\cdot {{e}^{-\frac{t}{2}}}\]

verificando, in particolare, che si ha un flesso nel punto \(F=\left( 4,\frac{16}{{{e}^{2}}} \right)\).

Determinare l’equazione della retta tangente al grafico nel punto F. 

3.  Supponendo che la funzione 𝑞(𝑡) rappresenti, per 𝑡≥0, la carica elettrica (misurata in C) che attraversa all’istante di tempo t (misurato in s) la sezione di un certo conduttore, determinare le dimensioni fisiche delle costanti 𝑎 e 𝑏 sopra indicate. Sempre assumendo 𝑎=4 e 𝑏=-1/2, esprimere l’intensità di corrente 𝑖(𝑡) che fluisce nel conduttore all’istante t; determinare il valore massimo ed il valore minimo di tale corrente e a quale valore essa si assesta col trascorrere del tempo. 

4.  Indicando, per \({{t}_{0}}\ge 0\), con \(Q\left( {{t}_{0}} \right)\) la carica totale che attraversa la sezione del conduttore in un dato intervallo di tempo \(\left[ 0,{{t}_{0}} \right]\), determinare a quale valore tende \(Q\left( {{t}_{0}} \right)\)  per  \({{t}_{0}}\to +\infty \) .

Supponendo che la resistenza del conduttore sia  \(R=3\Omega \) ,  scrivere (senza poi effettuare il calcolo), un integrale che fornisca l’energia dissipata nell’intervallo di tempo \(\left[ 0,{{t}_{0}} \right]\).   

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PROBLEMA 2

Una carica elettrica puntiforme \({{Q}_{1}}=4q\) (con q positivo) è fissata nell’origine O di un sistema di riferimento nel piano  \(Oxy\) (dove x e y sono espressi in m). Una seconda carica elettrica puntiforme \({{Q}_{2}}=q\) è vincolata a rimanere sulla retta \(r\)  di equazione  \(y=1\).

1.  Supponendo che la carica \({{Q}_{2}}\) sia collocata nel punto \(A(0,1)\),  provare che esiste un unico punto  P  del piano nel quale il campo elettrostatico generato dalle cariche \({{Q}_{1}}\) e \({{Q}_{2}}\)è nullo. Individuare la posizione del punto P e discutere se una terza carica collocata in P si trova in equilibrio elettrostatico stabile oppure instabile.

2. Verificare che, se la carica \({{Q}_{2}}\) si trova nel punto della retta r avente ascissa x, l’energia potenziale elettrostatica del sistema costituito da \({{Q}_{1}}\) e \({{Q}_{2}}\) è data da

\[\mathcal{U}\left( x \right)=k\ \frac{4{{q}^{2}}}{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}\]

dove k  è una costante positiva (unità di misura:  \(N\cdot {{m}^{2}}/{{C}^{2}}\)). 

3. Studiare la funzione \(\mathcal{U}\left( x \right)\) per \(x\in \mathbb{R}\) specificandone eventuali simmetrie, asintoti, massimi o minimi, flessi. Quali sono i coefficienti angolari delle tangenti nei punti di flesso?

4. A partire dal grafico della funzione \(\mathcal{U}\), tracciare il grafico della funzione \({\mathcal{U}}’\),  specificandone le eventuali proprietà di simmetria. Determinare il valore di \(\int_{-m}^{m}{\mathcal{U}}\prime \left( x \right)dx\) (dove m>0 indica l’ascissa del punto di minimo di \({\mathcal{U}}’\)).

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QUESTIONARIO

1.   Determinare i valori di a e b in modo che la funzione \(g:\mathbb{R}-\left\{ 3 \right\}\to \mathbb{R}\)

\(g\left( x \right)=\left\{ \begin{matrix}   3-a\ {{x}^{2}} & \ \ \ \text{per}\ x\le 1  \\   \  & \   \\   \frac{b}{x-3} & \ \ \ \text{per}\ x>1  \\\end{matrix} \right.\)

sia derivabile in tutto il suo dominio.  Tracciare i grafici delle funzioni g e g’.

Soluzione del quesito 1 della simulazione di maturità scientifica 28 Febbraio 2019

2.  Sia \(\mathcal{R}\) la regione piana compresa tra l’asse  e la curva di equazione \(y=2{{e}^{1-|x|}}\). Provare che, tra i rettangoli inscritti in \(\mathcal{R}\) e aventi un lato sull’asse x, quello di area massima ha perimetro minimo ed è un quadrato.

Soluzione del quesito 2 della simulazione di maturità scientifica 28 Febbraio 2019

3.  Una scatola contiene 16 palline numerate da 1 a 16.

• Se ne estraggono 3, una alla volta, rimettendo ogni volta nella scatola la pallina estratta. Qual è la probabilità che il primo numero estratto sia 10 e gli altri due minori di 10?
• Se ne estraggono 5 contemporaneamente. Qual è la probabilità che il più grande dei numeri estratti sia uguale a 13?\

Soluzione del quesito 3 della simulazione di maturità scientifica 28 Febbraio 2019

4.  Scrivere, giustificando la scelta effettuata, una funzione razionale \(y=\frac{s(x)}{t(x)}\) ,  dove s(x) e t(x)  sono polinomi, tale che il grafico della funzione:

• incontri l’asse nei punti di ascissa -1 e 2 e sia ad esso tangente in quest’ultimo punto;
• abbia asintoti verticali di equazioni  x=-3 e x=1 ;
• passi per il punto P(7,10) .

Rappresentare, qualitativamente, il grafico della funzione trovata.

Soluzione del quesito 4 della simulazione di maturità scientifica 28 Febbraio 2019

5.  Si consideri la superficie sferica  di equazione \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+6z=0\).

• Dopo aver determinato le coordinate del centro e la misura del raggio, verificare che il piano di equazione π: \(3x-2y+6z+1=0\) e la superficie S sono secanti.
• Determinare il raggio della circonferenza ottenuta intersecando π e S .

Soluzione del quesito 5 della simulazione di maturità scientifica 28 Febbraio 2019

6.  Un punto materiale si muove di moto rettilineo, secondo la legge oraria espressa, per \(t\ge 0\),  da
\(x\left( t \right)=\frac{1}{9}{{t}^{2}}\left( \frac{1}{3}t+2 \right)\) dove x(t) indica (in metri) la posizione occupata dal punto all’istante t (in secondi). Si tratta di un moto uniformemente accelerato? Calcolare la velocità media nei primi 9 secondi di moto e determinare l’istante in cui il punto si muove a questa velocità.

Soluzione del quesito 6 della simulazione di maturità scientifica 28 Febbraio 2019

7.  Una sfera di massa \(m\) urta centralmente a velocità \(v\) una seconda sfera, avente massa \(3m\) ed inizialmente ferma.

a.  Stabilire le velocità delle due sfere dopo l’urto, nell’ipotesi che tale urto sia perfettamente elastico.

b.  Stabilire le velocità delle due sfere dopo l’urto, nell’ipotesi che esso sia completamente anelastico. Esprimere, in questo caso, il valore dell’energia dissipata.

Soluzione del quesito 7 della simulazione di maturità scientifica 28 Febbraio 2019

8.  Un campo magnetico, la cui intensità varia secondo la legge , dove 𝑡 indica il tempo, attraversa perpendicolarmente un circuito quadrato di lato 𝑙. Detta 𝑅 la resistenza presente nel circuito, determinare la forza elettromotrice e l’intensità di corrente indotte nel circuito all’istante 𝑡. Specificare le unità di misura di tutte le grandezze coinvolte.

Soluzione del quesito 8 della simulazione di maturità scientifica 28 Febbraio 2019

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