In questa pagina parliamo di continuità, derivabilità e differenziabilità in \(\mathbb{R}^2\). Le definizioni possono essere estese ad \(\mathbb{R}^n\) senza difficoltà.
CONTINUITÀ
Una funzione è continua nel punto \(\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\) se \(\underset{\left( x,y \right)\to \left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)}{\mathop{\lim }}\,f\left( x,y \right)=f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\).
DERIVATA DIREZIONALE
Sia \(\mathbf{\hat{v}}=\left( {{v}_{x}},{{v}_{y}} \right)\) un generico versore, si definisce derivata della funzione \({{D}_{\mathbf{v}}}\left( f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right) \right)\) nella direzione definita dal versore \(\mathbf{\hat{v}}\):
\(\frac{\partial }{\partial v}f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)=\)\(\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( {{x}_{0}}+t{{v}_{x}},{{y}_{0}}+t{{v}_{y}} \right)-f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)}{t}\)
In alternativa è possibile calcolare la derivate parziale in forma vettoriale, attaverso il prodotto scalare tra gradiente della funzione e versore \(\mathbf{\hat{v}}\).
\({{D}_{\mathbf{v}}}\left( f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right) \right)=\nabla f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\,\centerdot \,\mathbf{\hat{v}}\)
DERIVABILITÀ
Una funzione è derivabile se esistono le derivate direzionali in tutte le direzioni. Per verificare la derivabilità di una funzione è sufficiente verificare che la funzione ammette tutte le derivate parziali.
\(f(x)\) é quinidi derivabile in \(\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\) se esistono e sono finite le derivate parziali.
\(\frac{\partial }{\partial x}f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( {{x}_{0}}+t,{{y}_{0}} \right)-f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)}{t}\)
\(\frac{\partial }{\partial y}f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}}+t \right)-f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)}{t}\)
LA DERIVABILITÀ NON IMPLICA LA CONTINUITÀ
A differenza delle funzioni a una variabile reale (oggetto di studio di analisi matematica 1) \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) in cui la derivabilità implica la continuità, per funzioni in più variabili questo non è vero.
Per convincersene prendiamo un caso concreto in cui ciò non accade:
Esempio di funzione derivabile ma non continua.
\(f(x,y)=\left\{ \begin{align} & \frac{{{x}}}{{{x}}+{{y}}}\,\,se\,\,(x,y)\ne (0,0) \\ & 0\,\,se\,(x,y)=(0,0) \\ \end{align} \right.\).
DIFFERENZIABILITÀ
In \(\mathbb{R}^2\) una funzione si dice differenziabile in un punto se:
Il terzo punto si può scrivere utilizzando una notazione diversa, con l’utilizzo dell’o-piccolo (uno dei simboli di Landau):
\(f\left( {{x}_{0}}+h,{{y}_{0}}+k \right)-f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)-\)\(h{{{f}’}_{x}}\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)-k{{{f}’}_{y}}\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)=\)\(o\left( \sqrt{{{h}^{2}}+{{k}^{2}}} \right)\) se \((h,k)\to (0,0)\).
Sia \(\tilde{f}({{P}_{h,k}})=f\left( P \right)+h\,{{{f}’}_{x}}(P)+k{{{f}’}_{y}}(P)\) l’approssimazione di Taylor del primo ordine della funzione \(f(P)\) (approssimazione del piano tangente) in \({P}_{h,k}\), con \(P=(x_0,y_0)\) , \(P_{h,k}=(x_0+h,y_0+k)\) e \((h,k)\to (0,0)\).
Sia \(\varepsilon \left( h,k \right)=\tilde{f}(P_{h,k})-f(P_{h,k})\), con \(P_{h,k}=P+(h,k)\), l’errore che si commette approssimando la funzione con il piano tangente.
Se la funzione è differenziabile in \(P\) e \((h,k)\to (0,0)\), allora l’errore di approssimazione è un infinitesimo di ordine inferiore rispetto alla distanza tra \(P\) e \(P_{h,k}\), ovvero il modulo del vettore \((h,k)\), ovvero \(d=\sqrt{(h^2+k^2)}\)
\(\varepsilon \left( h,k \right)=o\left( d\left( \overrightarrow{{{P}_{h}}P} \right) \right)=\)\(o\left( \sqrt{{{h}^{2}}+{{k}^{2}}} \right)\) , se \(\left( h,k \right)\to \left( 0,0 \right)\)
TEOREMA DEL DIFFERENZIALE TOTALE
Sia \(f:A\subseteq {{\mathbb{R}}^{2}}\to \mathbb{R}\) una funzione derivabile nell’aperto \(A\) , cioè esistono le derivate parziali \({{{f}’}_{x}}\left( x,y \right)\) ,\({{{f}’}_{y}}\left( x,y \right)\) \(\forall \left( x,y \right)\in A\) . Se le derivate parziali sono continue in \({{P}_{0}}=\left( {{x}_{0}},y_{0}^{{}} \right)\) allora la funzione è differenziabile in \({{P}_{0}}\).
Questo teorema se verificate le ipotesi permette di verificare che la funzione è differenziabile. Viceversa se le derivate parziali non sono continue allora non si può concludere nulla sulla differenziabilità.
TEOREMA: CONDIZIONE SUFFICIENTE ALLA CONTINUITÀ
In due o più variabili, se una funzione è differenziabile in un punto allora è anche continua
