Integrale triplo svolto su volume compreso tra due sfere decentrate

Calcolare il seguente integrale triplo:

  • \(\iiint\limits_{A}{\left( x+{{z}^{3}}\sin {{y}^{2}} \right)dxdydz}\) , \(A=\left\{ (x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,\,2x\le {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\le 1,\,x\ge 0 \right\}\)

In seguito è riportato il testo dell’integrale triplo svolto su volume compreso tra due sfere decentrate e un piano (insieme A)

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Soluzione

Per prima cosa proviamo a capire di cosa si tratta l’insieme di integrazione.

Si tratta del volume compreso tra due sfere decentrate e un piano. Vediamo singolarmente le superfici che fanno da contorno al volume rappresentato dall’insieme A.

La prima superficie è una sfera decentrata rispetto all’origine e per ottenere centro e raggio completiamo i quadrati:

\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=2x\) \(\Rightarrow \) \({{x}^{2}}-2x+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=0\) \(\Rightarrow \) \({{x}^{2}}-2x+1+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=+1\) \(\Rightarrow \) \({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=+1\)

Si tratta quindi di una sfera centrata in (1,0,0) e di raggio R=1.

La seconda sfera di equazione\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1\) è centrata nell’origine e ha raggio unitario.

Per concludere x=0 è un piano e vediamo il grafico tridimensionale dell’insieme da diversi punti di vista.

L'insieme di integrazione è l'intersezione tra due sfere decentrate e il piano x=0altra vista dell'insieme di integrazione

Rappresentazione dell'insieme nel piano cartesiano tridimensionale

Passiamo in coordinate cilindriche per descrivere meglio l’insieme di integrazione:

\(\left\{ \begin{align}  & x=x \\ & y=\rho \cos \theta  \\ & z=\rho \sin \theta  \\\end{align} \right.\), \(\rho \ge 0\) ,\(\theta \in \left[ 0,2\pi  \right]\) ,  \(|\det J|=\rho \)

Si osserva che fissando x, si ha che la sezione del solido è la parte di piano compresa tra due cerchi \(2x-{{x}^{2}}\le {{y}^{2}}+{{z}^{2}}\le 1-{{x}^{2}}\), come in figura.

Sezione dell'insieme A con un valore di x fissato, è la superficie compresa tra due cerchiRiscriviamo a questo punto le disequazioni che descrivono l’insieme A, facendo la sostituzione delle coordinate polari.

\(2x\le {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\le 1\) \(\Rightarrow \) \(2x-{{x}^{2}}\le {{\rho }^{2}}\le 1-{{x}^{2}}\) \(\Rightarrow \) \(\sqrt{2x-{{x}^{2}}}\le \rho \le \sqrt{1-{{x}^{2}}}\)

Ed inoltre  bisogna imporre \(2x-{{x}^{2}}\le 1-{{x}^{2}}\) per capire tra quali valori varia la variabile x, e si ha \(2x-1\le 0\)\(\Rightarrow \)\(x\le \frac{1}{2}\). Aggiungendo l’altra condizione contenuta in A, e cioè \(x\ge 0\), si ha che \(0\le x\le \frac{1}{2}\).

Non si hanno condizioni che limitano la variabile θ, che quindi varia nell’intero intervallo  [0,2π].

In coordinate polari l’insieme A diventa:

\({A}’=\left\{ \left( \rho ,\theta ,\phi \right)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,0\le x\le \frac{1}{2},\,\,0\le \theta \le 2\pi ,\,\,\sqrt{2x-{{x}^{2}}}\le \rho \le \sqrt{1-{{x}^{2}}}\, \right\}\)

A questo punto spezziamo l’integrale triplo nella somma di due integrali \(\iiint\limits_{A}{\left( x+{{z}^{3}}\sin {{y}^{2}} \right)dxdydz}=\) \(\iiint\limits_{A}{xdxdydz}+\iiint\limits_{A}{{{z}^{3}}\sin {{y}^{2}}dxdydz}=\) \(\iiint\limits_{A}{xdxdydz}\)

Il secondo integrale fa zero per motivi di simmetria \(\iiint\limits_{A}{{{z}^{3}}\sin {{y}^{2}}dxdydz}=0\)

A questo punto riscriviamo l’integrale in coordinate polari ricordando di moltiplicare per il modulo del determinante della matrice Jacobiana.

\(\iiint\limits_{A}{xdxdydz}=\) \(\iiint\limits_{{{A}’}}{x\rho d\rho d\theta dz}\)

A questo punto scriviamo gli estremi e procediamo al calcolo dell’integrale:

\(\int\limits_{x=0}^{1/2}{x\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{\rho=\sqrt{2x-{{x}^{2}}}}^{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}{\rho }}}\cdot d\rho d\theta d\phi =\) \(\int\limits_{0}^{2\pi }{d\theta }\cdot \int\limits_{x=0}^{1/2}{x\left[ \frac{{{\rho }^{2}}}{2} \right]_{\sqrt{2x-{{x}^{2}}}}^{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}}dx=\) \(\left[ \theta  \right]_{0}^{2\pi }\int\limits_{x=0}^{1/2}{x\frac{1-2x}{2}}dx=\) \(2\pi \int\limits_{x=0}^{1/2}{x\frac{1-2x}{2}}dx=\)

\(\pi \int\limits_{x=0}^{1/2}{x-2{{x}^{2}}}dx=\) \(\pi \left[ \frac{1}{2}{{x}^{2}}-\frac{2}{3}{{x}^{3}} \right]_{0}^{1/2}=\frac{\pi }{24}\).

Possiamo concludere che il risultato dell’integrale triplo è \(\iiint\limits_{A}{\left( x+{{z}^{3}}\sin {{y}^{2}} \right)dxdydz}=\frac{\pi }{24}\):

Abbiamo concluso l’integrale triplo svolto su volume compreso tra due sfere decentrate e un piano. Spero sia tutto chiaro il procedimento adottato. Continua la navigazione sul sito per leggere altri esempi.

Integrali Tripli

Lezioni di Analisi Matematica 2


Autore: ing. Casparriello Marco

Lezioni di matematica e fisica a cura di Marco Casparriello.