Teorema di unicità del limite

Il teorema di unicità del limite di una successione afferma che data una successione convergente, non può avere due limiti distinti. Cioè non può succedere che \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}={{l}_{1}}\) e allo stesso tempo \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}={{l}_{2}}\), con \({{l}_{1}}\ne {{l}_{2}}\) .

Disuguaglianza triangolare

Siano \(x\) e\(y\) due numeri reali qualunque. Si ha sempre che \(\left| x+y \right|\le \left| x \right|+\left| y \right|\)

Dimostrazione

Dimostrazione per assurdo
. Partiamo con il negare la tesi e supponiamo che sia vero che\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}={{l}_{1}}\) e allo stesso tempo \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}={{l}_{2}}\), con \({{l}_{1}}\ne {{l}_{2}}\) .
Allora possiamo scrivere le due definizioni di limite:
\(\forall \varepsilon >0\,\exists k\in \mathbb{N}:\,\left| {{a}_{n}}-{{l}_{1}} \right|<\varepsilon \,\forall n>k\)
\(\forall \varepsilon >0\,\exists k\in \mathbb{N}:\,\left| {{a}_{n}}-{{l}_{2}} \right|<\varepsilon \,\forall n>k\)
Mettendo insieme le due definizioni si ottiene che fissato \(\varepsilon \) se \(\bar{k}\) è abbastanza grande valgono simultaneamente \(\left| {{a}_{n}}-{{l}_{1}} \right|<\varepsilon \)e  \(\left| {{a}_{n}}-{{l}_{2}} \right|<\varepsilon \) \(\forall n>\bar{k}\).
Sommando membro a membro le due disequazioni si ha che \(\left| {{a}_{n}}-{{l}_{1}} \right|+\left| {{a}_{n}}-{{l}_{2}} \right|<\varepsilon +\varepsilon \).
Poi tengo conto del fatto che \(\left| {{a}_{n}}-{{l}_{2}} \right|=\left| {{l}_{2}}-{{a}_{n}} \right|\).
\(\left| {{a}_{n}}-{{l}_{1}} \right|+\left| {{l}_{2}}-{{a}_{n}} \right|<2\varepsilon \)
A questo punto applichiamo la disuguaglianza triangolare:
\(\left| {{l}_{1}}-{{l}_{2}} \right|<\left| {{a}_{n}}-{{l}_{1}} \right|+\left| {{l}_{2}}-{{a}_{n}} \right|<2\varepsilon \)
Da cui si può riscrivere meglio
\(\left| {{l}_{1}}-{{l}_{2}} \right|<2\varepsilon \,\,\,\forall \varepsilon >0\)
Ma l’unica scelta che verifica la disequazione per ogni \(\varepsilon \) positivo è \({{l}_{1}}={{l}_{2}}\) che nega l’affermazione di partenza, e si può dire che è assurdo che \({{l}_{1}}\ne {{l}_{2}}\).

Successioni che non ammettono limite

Così com’è vero che una successione non può ammettere due limiti diversi, allo stesso tempo non è detto che un limite esiste per forza.
Prendiamo ad esempio la successione \({{a}_{n}}=\cos \left( n\pi  \right)\) , dimostriamo che questa successione non ammette limite.
Per prima cosa vediamo che \(\cos \left( n\pi  \right)=1\) se \(n\) è pari e  \(\cos \left( n\pi  \right)=-1\) se \(n\) è dispari. Si può anche scrivere che \(\cos \left( n\pi  \right)={{\left( -1 \right)}^{n}}\).
Vediamo che la successione \({{b}_{n}}={{a}_{2n}}=\cos \left( 2n\pi  \right)=1\) e quindi \({{b}_{n}}\to 1\) e \({{c}_{n}}={{a}_{2n+1}}=\cos \left( \left( 2n+1 \right)\pi  \right)=-1\) e quindi \({{c}_{n}}\to -1\). Cioè dalla successione \({{a}_{n}}\) posso estrarre due sottosuccessioni convergenti a due limiti diversi, e quindi per il teorema di unicità possiamo dire che per la successione \({{a}_{n}}\) non esiste limite.

Lezioni di Analisi Matematica


Autore: Ing. Casparriello Marco

Lezioni di matematica e fisica a cura di Marco Casparriello.