Il teorema di unicità del limite di una successione afferma che data una successione convergente, non può avere due limiti distinti. Cioè non può succedere che \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}={{l}_{1}}\) e allo stesso tempo \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}={{l}_{2}}\), con \({{l}_{1}}\ne {{l}_{2}}\) .
Siano \(x\) e\(y\) due numeri reali qualunque. Si ha sempre che \(\left| x+y \right|\le \left| x \right|+\left| y \right|\)
Dimostrazione per assurdo
. Partiamo con il negare la tesi e supponiamo che sia vero che\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}={{l}_{1}}\) e allo stesso tempo \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}={{l}_{2}}\), con \({{l}_{1}}\ne {{l}_{2}}\) .
Allora possiamo scrivere le due definizioni di limite:
\(\forall \varepsilon >0\,\exists k\in \mathbb{N}:\,\left| {{a}_{n}}-{{l}_{1}} \right|<\varepsilon \,\forall n>k\)
\(\forall \varepsilon >0\,\exists k\in \mathbb{N}:\,\left| {{a}_{n}}-{{l}_{2}} \right|<\varepsilon \,\forall n>k\)
Mettendo insieme le due definizioni si ottiene che fissato \(\varepsilon \) se \(\bar{k}\) è abbastanza grande valgono simultaneamente \(\left| {{a}_{n}}-{{l}_{1}} \right|<\varepsilon \)e \(\left| {{a}_{n}}-{{l}_{2}} \right|<\varepsilon \) \(\forall n>\bar{k}\).
Sommando membro a membro le due disequazioni si ha che \(\left| {{a}_{n}}-{{l}_{1}} \right|+\left| {{a}_{n}}-{{l}_{2}} \right|<\varepsilon +\varepsilon \).
Poi tengo conto del fatto che \(\left| {{a}_{n}}-{{l}_{2}} \right|=\left| {{l}_{2}}-{{a}_{n}} \right|\).
\(\left| {{a}_{n}}-{{l}_{1}} \right|+\left| {{l}_{2}}-{{a}_{n}} \right|<2\varepsilon \)
A questo punto applichiamo la disuguaglianza triangolare:
\(\left| {{l}_{1}}-{{l}_{2}} \right|<\left| {{a}_{n}}-{{l}_{1}} \right|+\left| {{l}_{2}}-{{a}_{n}} \right|<2\varepsilon \)
Da cui si può riscrivere meglio
\(\left| {{l}_{1}}-{{l}_{2}} \right|<2\varepsilon \,\,\,\forall \varepsilon >0\)
Ma l’unica scelta che verifica la disequazione per ogni \(\varepsilon \) positivo è \({{l}_{1}}={{l}_{2}}\) che nega l’affermazione di partenza, e si può dire che è assurdo che \({{l}_{1}}\ne {{l}_{2}}\).
Così com’è vero che una successione non può ammettere due limiti diversi, allo stesso tempo non è detto che un limite esiste per forza.
Prendiamo ad esempio la successione \({{a}_{n}}=\cos \left( n\pi \right)\) , dimostriamo che questa successione non ammette limite.
Per prima cosa vediamo che \(\cos \left( n\pi \right)=1\) se \(n\) è pari e \(\cos \left( n\pi \right)=-1\) se \(n\) è dispari. Si può anche scrivere che \(\cos \left( n\pi \right)={{\left( -1 \right)}^{n}}\).
Vediamo che la successione \({{b}_{n}}={{a}_{2n}}=\cos \left( 2n\pi \right)=1\) e quindi \({{b}_{n}}\to 1\) e \({{c}_{n}}={{a}_{2n+1}}=\cos \left( \left( 2n+1 \right)\pi \right)=-1\) e quindi \({{c}_{n}}\to -1\). Cioè dalla successione \({{a}_{n}}\) posso estrarre due sottosuccessioni convergenti a due limiti diversi, e quindi per il teorema di unicità possiamo dire che per la successione \({{a}_{n}}\) non esiste limite.
