Vogliamo calcolare il seguente limite
\(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}-\cos \left( \sqrt{2}y \right)}{6{{x}^{2}}+{{y}^{4}}}\)
Continua a leggere l’esercizio svolto limite di funzione di due variabili reali.
Notiamo la presenza di una funzione esponenziale e un coseno al numeratore e che i rispettivi argomenti tendono a zero. È possibile approssimare queste funzioni con espressioni polinomiali attraverso l’utilizzo dei limiti notevoli.
Utilizzeremo \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}-1}{x}=1\) che in termini di asintotici può essere espresso nella seguente forma:
Se \(x\to 0\) \(\Rightarrow \) \({{e}^{x}}\sim 1+x\)
Per il caso in esame vale: Se \(\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)\) \(\Rightarrow \) \({{e}^{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}\sim 1+{{x}^{2}}-{{y}^{2}}\)
E per approssimare il coseno si può usare il limite notevole \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\cos x}{{{x}^{2}}}=\frac{1}{2}\) che in termini di asintotici diventa:
Se \(x\to 0\) \(\Rightarrow \) \(\cos x\sim 1-\frac{{{x}^{2}}}{2}\)
Quindi se \(\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)\) \(\Rightarrow \) \(\cos \left( \sqrt{2}y \right)\sim 1-\frac{2{{y}^{2}}}{2}=1-{{y}^{2}}\)
Facciamo quindi le comode approssimazioni al numeratore:
\(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}-\cos \left( \sqrt{2}y \right)}{6{{x}^{2}}+{{y}^{4}}}=\) \(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{1+{{x}^{2}}-{{y}^{2}}+o({{x}^{2}}-{{y}^{2}})-1+{{y}^{2}}}{6{{x}^{2}}+{{y}^{4}}}\sim \) \(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}}{6{{x}^{2}}+{{y}^{4}}}\)
A questo punto si vede chiaramente che il numeratore è confrontabile con il denominatore e che quindi molto probabilmente il limite non esiste. Andiamo quindi a dimostrare che il limite non esiste, ricordando che un limite esiste se indipendentemente da come si mettono in relazione la variabile x alla variabile y, il limite non cambia.
Poniamo ad esempio \(x={{y}^{2}}\) andiamo a sostituire nel limite e si ha:
\(\underset{y\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{y}^{4}}}{6{{y}^{4}}+{{y}^{4}}}=\frac{1}{7}\)
Poniamo a questo punto \(x=2{{y}^{2}}\) e sostituendo nel limite si ha:
\(\underset{y\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{4{{y}^{4}}}{24{{y}^{4}}+{{y}^{4}}}=\frac{4}{25}\)
A questo punto è chiaro che il limite dipende da come si mettono in relazione la variabile x con la variabile y e possiamo concludere che il limite non esiste.
Abbiamo quindi mostrato un esercizio svolto limite di funzione di due variabili reali di due variabili che non esiste.
