Esercizio svolto limite di funzione di due variabili reali

Problema

Vogliamo calcolare il seguente limite

\(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}-\cos \left( \sqrt{2}y \right)}{6{{x}^{2}}+{{y}^{4}}}\)

Continua a leggere l’esercizio svolto limite di funzione di due variabili reali.

Soluzione

Notiamo la presenza di una funzione esponenziale e un coseno al numeratore e che i rispettivi argomenti tendono a zero. È possibile approssimare queste funzioni con espressioni polinomiali attraverso l’utilizzo dei limiti notevoli.

Utilizzeremo \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}-1}{x}=1\) che in termini di asintotici può essere espresso nella seguente forma:

Se \(x\to 0\) \(\Rightarrow \) \({{e}^{x}}\sim 1+x\)

Per il caso in esame vale: Se \(\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)\) \(\Rightarrow \) \({{e}^{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}\sim 1+{{x}^{2}}-{{y}^{2}}\)

E per approssimare il coseno si può usare il limite notevole \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\cos x}{{{x}^{2}}}=\frac{1}{2}\) che in termini di asintotici diventa:

Se \(x\to 0\) \(\Rightarrow \) \(\cos x\sim 1-\frac{{{x}^{2}}}{2}\)

Quindi se \(\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)\) \(\Rightarrow \) \(\cos \left( \sqrt{2}y \right)\sim 1-\frac{2{{y}^{2}}}{2}=1-{{y}^{2}}\)

Facciamo quindi le comode approssimazioni al numeratore:

\(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}-\cos \left( \sqrt{2}y \right)}{6{{x}^{2}}+{{y}^{4}}}=\) \(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{1+{{x}^{2}}-{{y}^{2}}+o({{x}^{2}}-{{y}^{2}})-1+{{y}^{2}}}{6{{x}^{2}}+{{y}^{4}}}\sim \) \(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}}{6{{x}^{2}}+{{y}^{4}}}\)

A questo punto si vede chiaramente che il numeratore è confrontabile con il denominatore e che quindi molto probabilmente il limite non esiste. Andiamo quindi a dimostrare che il limite non esiste, ricordando che un limite esiste se indipendentemente da come si mettono in relazione la variabile x alla variabile y, il limite non cambia.

Poniamo ad esempio \(x={{y}^{2}}\) andiamo a sostituire nel limite e si ha:

\(\underset{y\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{y}^{4}}}{6{{y}^{4}}+{{y}^{4}}}=\frac{1}{7}\)

Poniamo a questo punto \(x=2{{y}^{2}}\) e sostituendo nel limite si ha:

\(\underset{y\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{4{{y}^{4}}}{24{{y}^{4}}+{{y}^{4}}}=\frac{4}{25}\)

A questo punto è chiaro che il limite dipende da come si mettono in relazione la variabile x con la variabile y e possiamo concludere che il limite non esiste.

Abbiamo quindi mostrato un esercizio svolto limite di funzione di due variabili reali di due variabili che non esiste.

Limite di una funzione di due variabili reali

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