Limite all’infinito di funzione di due variabili reali

Vogliamo calcolare il seguente limite

\(\underset{\left( x,y \right)\to \left( \infty ,\infty  \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{x{{y}^{2}}}{1+{{x}^{4}}+{{y}^{2}}}\)

Continua a leggere la soluzione dell’esercizio sul limite all’infinito di funzione di due variabili reali

 

Soluzione

Così come avviene quando \((x,y)\to (0,0)\), anche nel caso di \((x,y)\to (\infty ,\infty )\), il limite esiste se indipendentemente da come si mettono in relazione le variabili x ed y, il risultato del limite non cambia.

Proviamo a mettere in relazione x ed y, cercando di sbilanciare l’ordine di infinito al numeratore con quello al denominatore.

Per fare ciò creiamo una prima relazione tra le variabili x ed y, ad esempio proviamo a porre \(y={{x}^{10}}\). La relazione è corretta perché se \(x\to \infty \) anche \(y\to \infty \). Andiamo quindi a sostituire nel limite e si ha:

\(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{21}}}{1+{{x}^{4}}+{{x}^{20}}}=\infty \)

A questo proviamo a relazionare diversamente le due variabili reali, ad esempio con \(y=x\). Andiamo a sostituire nel limite e si ottiene

\(\,\,\,\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}}{1+{{x}^{4}}+{{x}^{2}}}=0\)

A questo punto è chiaro che il limite dipende da come si mettono in relazione la variabile x con la variabile y e possiamo concludere che il limite non esiste.

Abbiamo quindi mostrato un esercizio svolto limite di funzione di due variabili reali di due variabili che non esiste.

Quello che abbiamo appena visto è un esempio svolto di limite all’infinito di funzione di due variabili reali, continua la navigazione per leggere altri esempi e lezioni.

Limite di una funzione di due variabili reali

Lezioni di Analisi Matematica 2

Professore di teoria dei segnali e analisi matematica


Professore Casparriello Marco

Esperto in didattica di Analisi Matematica e Teoria dei Segnali