Limite all’infinito di funzione di due variabili reali

Problema

Vogliamo calcolare il seguente limite

\(\underset{\left( x,y \right)\to \left( \infty ,\infty  \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{x{{y}^{2}}}{1+{{x}^{4}}+{{y}^{2}}}\)

Continua a leggere la soluzione dell’esercizio sul limite all’infinito di funzione di due variabili reali

Soluzione

Così come avviene quando \((x,y)\to (0,0)\), anche nel caso di \((x,y)\to (\infty ,\infty )\), il limite esiste se indipendentemente da come si mettono in relazione le variabili x ed y, il risultato del limite non cambia.

Proviamo a mettere in relazione x ed y, cercando di sbilanciare l’ordine di infinito al numeratore con quello al denominatore.

Per fare ciò creiamo una prima relazione tra le variabili x ed y, ad esempio proviamo a porre \(y={{x}^{10}}\). La relazione è corretta perché se \(x\to \infty \) anche \(y\to \infty \). Andiamo quindi a sostituire nel limite e si ha:

\(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{21}}}{1+{{x}^{4}}+{{x}^{20}}}=\infty \)

A questo proviamo a relazionare diversamente le due variabili reali, ad esempio con \(y=x\). Andiamo a sostituire nel limite e si ottiene

\(\,\,\,\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}}{1+{{x}^{4}}+{{x}^{2}}}=0\)

A questo punto è chiaro che il limite dipende da come si mettono in relazione la variabile x con la variabile y e possiamo concludere che il limite non esiste.

Abbiamo quindi mostrato un esercizio svolto limite di funzione di due variabili reali di due variabili che non esiste.

Quello che abbiamo appena visto è un esempio svolto di limite all’infinito di funzione di due variabili reali, continua la navigazione per leggere altri esempi e lezioni.

Limite di una funzione di due variabili reali

Lezioni di Analisi Matematica 2

Stai studiando per l’esame di Analisi Matematica 2?

ing Casparriello Marco Ripetizioni di Analisi Matematica

Vuoi approfondire argomenti come questi presenti sul sito o chiarire dei dubbi prima di affrontare l’esame? Hai degli esercizi che non riesci proprio a risolvere e cerchi aiuto? Prova con le mie lezioni private!

Ho aiutato con successo numerosi studenti di varie facoltà di ingegneria, a superare l’esame di analisi matematica 2.

Prepara una lista di esercizi o argomenti su cui trovi difficoltà e risponderò a tutte le tue domande in maniera semplice ed esaustiva.

Ripetizioni di Analisi Matematica 2

Alcune lezioni di Analisi Matematica 2