superfici e integrali di campi vettoriali sulle superfici

DOMINIO

(in topologia) è la chiusura di un aperto, ovvero è l’insieme costituito dall’unione tra un insieme aperto e la sua frontiera.

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DOMINIO CONNESSO

(in topologia) \(D\subseteq {{\mathbb{R}}^{2}}\) si dice dominio connesso se è la chiusura di un aperto connesso: \(D=\overset{o}{\mathop{D}}\,\cup acc\left( \overset{o}{\mathop{D}}\, \right)\)

SUPERFICIE REGOLARE in \({{\mathbb{R}}^{3}}\)

è una applicazione \(\sigma :D\to {{\mathbb{R}}^{3}}\) , \(\sigma \left( u,v \right)=\left( x\left( u,v \right),y\left( u,v \right),z\left( u,v \right) \right)\) di classe \({{C}^{1}}\) tale che:

1. \(\sigma \) è inettiva in \(\overset{o}{\mathop{D}}\,\)

2. Per ogni \(\left( u,v \right)\in \overset{o}{\mathop{D}}\,\), la matrice Jacobiana

\({{\mathbf{J}}_{\sigma }}\left( u,v \right)=\left( \begin{matrix}\frac{\partial }{\partial u}x\left( u,v \right) & \frac{\partial }{\partial v}x\left( u,v \right) \\\frac{\partial }{\partial u}y\left( u,v \right) & \frac{\partial }{\partial v}y\left( u,v \right) \\\frac{\partial }{\partial u}z\left( u,v \right) & \frac{\partial }{\partial v}z\left( u,v \right) \\\end{matrix} \right)\)

Abbia rango 2 (\(\forall \left( u,v \right)\in D\,\,\,\exists \) un minore \(2\times 2\) con determinante diverso da zero)

Le equazioni parametriche del piano sono date da:

\(\left\{ \begin{align}& x=x\left( u,v \right) \\& y=y\left( u,v \right) \\& z=z\left( u,v\right) \\\end{align} \right.\,\,\,\,\,\,\left( u,v \right)\in D\)

sostegno di una superficie

Si definisce SOSTEGNO di \(\sigma \) l’insieme immagine (codominio).

\(\sigma \left( D \right)=\Sigma =\left\{ x\left( u,v \right),y\left( u,v \right),z\left( u,v \right)\,\,\,:\,\,\,\left( u,v \right)\in D \right\}\)

SUPERFICI CARTESIANE

(sono una particolare parametrizzazione di superfici, e sono grafici di funzioni).

Data \(f:D\to \mathbb{R}\), \(D\subseteq {{\mathbb{R}}^{2}}\) dominio connesso, \(\sigma \left( u,v \right)=\left( u,v,f\left( u,v \right) \right)\) è una superficie regolare se \(f\in {{C}^{1}}\left( D \right)\) .

Infatti \(\sigma \left( {{u}_{1}},{{v}_{1}} \right)=\sigma \left( {{u}_{2}},{{v}_{2}} \right)\), implica \(\left\{ \begin{align}& {{u}_{1}}={{u}_{2}} \\& {{v}_{1}}={{v}_{2}} \\& f\left( {{u}_{1}},{{v}_{1}} \right)=f\left( {{u}_{2}},{{v}_{2}} \right) \\\end{align} \right.\Rightarrow \left( {{u}_{1}},{{v}_{1}} \right)=\left( {{u}_{2}},{{v}_{2}} \right)\)

Questo per definizione di funzione stessa, infatti alla coppia \(\left( {{u}_{1}},{{v}_{1}} \right)\), sul dominio \(D\) è associato uno ed un solo valore. Quindi \(\sigma \) è iniettiva su \(D\) (ok la prima condizione).

matrice jacobiana per superfici cartesiane

\({{\mathbf{J}}_{\sigma }}\left( u,v \right)=\left( \begin{matrix}1 & 0 \\0 & 1 \\\frac{\partial }{\partial u}f & \frac{\partial }{\partial v}f \\\end{matrix} \right)\)

da cui selezionando il minore in alto si ha \(\det \left( \begin{matrix}1 & 0 \\0 & 1 \\\end{matrix} \right)=1\ne 0\)e quindi \({{\mathbf{J}}_{\sigma }}\) ha rango 2.

PIANO TANGENTE ALLA SUPERFICIE

Le derivate parziali (\({{\sigma }_{u}}\left( {{u}_{0}},{{v}_{0}} \right)\) e \({{\sigma }_{v}}\left( {{u}_{0}},{{v}_{0}} \right)\) ) del vettore \(\sigma \left( {{u}_{0}},{{v}_{0}} \right)\) sono vettori tangenti alla superficie. Se la curva è regolare, la matrice \({{\mathbf{J}}_{\sigma }}\)ha rango 2 e i vettori \({{\sigma }_{u}}\left( {{u}_{0}},{{v}_{0}} \right)\) e \({{\sigma }_{v}}\left( {{u}_{0}},{{v}_{0}} \right)\)( colonne della matrice Jacobiana) sono linearmente indipendenti e generano il piano tangente a \(\Sigma \) in \(\sigma \left( {{u}_{0}},{{v}_{0}} \right)\).

Il prodotto vettoriale tra i due vettori tangenti, fornisce un vettore normale alla superficie \(\Sigma \) \(\mathbf{N}\left( {{u}_{0}},{{v}_{0}} \right)={{\sigma }_{u}}\left( {{u}_{0}},{{v}_{0}} \right)\times {{\sigma }_{v}}\left( {{u}_{0}},{{v}_{0}} \right)\) in \(\sigma \left( {{u}_{0}},{{v}_{0}} \right)\).

Per ottenere l’equazione del piano tangente si può sfruttare il vettore normale e imporre il passaggio dal punto \({{\sigma }_{0}}=\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}},{{z}_{0}} \right)\).

\(\mathbf{N}\left( {{u}_{0}},{{v}_{0}} \right)={{\sigma }_{u}}\left( {{u}_{0}},{{v}_{0}} \right)\times {{\sigma }_{v}}\left( {{u}_{0}},{{v}_{0}} \right)=\left( \begin{matrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\{{x}_{u}} & {{y}_{u}} & {{z}_{u}} \\{{x}_{v}} & {{y}_{v}} & {{z}_{v}} \\\end{matrix} \right)=\left( {{N}_{1}},-{{N}_{2}},{{N}_{3}} \right)\)

Osservazione: Le componenti del vettore normale \(\mathbf{N}\) sono i tre determinanti dei minori della matrice Jacobiana.

E quindi l’equazione del piano tangente è data da:

\({{N}_{1}}\left( x-{{x}_{0}} \right)-{{N}_{2}}\left( y-{{y}_{0}} \right)+{{N}_{3}}\left( z-{{z}_{0}} \right)=0\)

Le superfici cartesiane (grafici di funzioni) possono essere viste come un caso particolare di superfici, a partire dalle formule appena trovate, si ottengono le stesse formule che si erano ottenute in precedenza quando si parlava di funzioni \(f:{{\mathbb{R}}^{2}}\to \mathbb{R}\) .

\(\left\{ \begin{align}& x=x \\& y=y \\& z=f\left( x,y \right) \\\end{align}\right.\,\,\,\,\,\,\left( x,v \right)\in D\)

\({{\mathbf{J}}_{\sigma }}\left( u,v \right)=\left( \begin{matrix}1 & 0 \\0 & 1 \\{{f}_{x}} & {{f}_{y}} \\\end{matrix} \right)\)

\(\mathbf{N}={{\sigma }_{x}}\times {{\sigma }_{y}}=\det \left( \begin{matrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\1 & 0 & {{f}_{x}} \\0 & 1 & {{f}_{v}} \\\end{matrix} \right)=\mathbf{i}\,\left( -{{f}_{x}} \right)-\mathbf{j}\left( {{f}_{y}} \right)+\mathbf{k}=\,\,\,\left( -{{f}_{x}},-{{f}_{y}},1 \right)\)

Da cui il piano tangente in \(\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}},f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right) \right)\) è \({{N}_{1}}\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{N}_{2}}\left( y-{{y}_{0}} \right)+{{N}_{3}}\left( z-{{z}_{0}} \right)=-{{f}_{x}}\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\cdot \left( x-{{x}_{0}} \right)-{{f}_{y}}\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\cdot \left( y-{{y}_{0}} \right)+\left( z-{{z}_{0}} \right)=0\)

Da cui si ottiene l’espressione dell’equazione del piano come la conosciamo già:

\(z=f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)+{{f}_{x}}\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\cdot \left( x-{{x}_{0}} \right)+{{f}_{y}}\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\cdot \left( y-{{y}_{0}} \right)\)

AREA DI UNA SUPERFICIE

Se\(\sigma :D\to {{\mathbb{R}}^{3}}\) è una superficie regolare, l’area della superficie è data dal seguente integrale:

\(A\left( \sigma \right)=\int_{D}{\left\| \mathbf{N}\left( u,v \right) \right\|du\,dv}\).

\(\left\| \mathbf{N}\left( u,v \right) \right\|=\sqrt{{{N}_{1}}^{2}+{{N}_{2}}^{2}+{{N}_{3}}^{2}}\) dove si ricorda che \({{N}_{1}}\) , \({{N}_{2}}\)e \({{N}_{3}}\)sono i minori della matrice Jacobiana \({{\mathbf{J}}_{\sigma }}\left( u,v \right)\).

Se si tratta di una superficie cartesiana, utilizzando i risultati di prima:

\(\left\| \mathbf{N}\left( u,v \right) \right\|=\sqrt{1+{{f}_{x}}^{2}+{{f}_{y}}^{2}}=\sqrt{1+{{\left\| \nabla f \right\|}^{2}}}\)

E quindi: \(A\left( \sigma \right)=\int_{D}{\sqrt{1+{{\left\| \nabla f \right\|}^{2}}}du\,dv}\)

FLUSSO DI UN CAMPO VETTORIALE ATTRAVERSO UNA SUPERFICIE

Sia \(\sigma :D\to {{\mathbb{R}}^{3}}\)una superficie regolare e\(\mathbf{F}:\Omega \to {{\mathbb{R}}^{3}}\) campo vettoriale continuo, con \(\Omega \subseteq {{\mathbb{R}}^{3}}\) aperto e il supporto \(\Sigma \) di \(\sigma \) contenuto in \(\Omega \).

Dato il versore normale a \(\sigma \) :

\(\mathbf{n}\left( u,v \right)=\frac{\mathbf{N}\left( u,v \right)}{\left\| \mathbf{N}\left( u,v \right) \right\|}\)

Si definisce flusso del campo vettoriale \(\mathbf{F}\) attraverso \(\Sigma \), nella direzione \(\mathbf{n}\), l’integrale:

\(\int_{\Sigma }{\left\langle \mathbf{F},\mathbf{n} \right\rangle d\sigma }=\int_{D}{\mathbf{F}\left( \sigma \left( u,v \right) \right)\bullet \mathbf{N}\left( u,v \right)du\,dv}\)

Le componenti della normale alla superficie, si ricorda provengono dal prodotto vettoriale tra le colonne della matrice Jacobiana, ovvero i determinanti dei minori di quest’ultima.

DIVERGENZA DI UN CAMPO VETTORIALE

Dato un campo \(\mathbf{F}:\Omega \to {{\mathbb{R}}^{3}}\) di classe \({{C}^{1}}\left( \Omega \right)\) , \(\mathbf{F}\left( x,y,z \right)=\left( u\left( x,y,z \right),\,\,v\left( x,y,z \right),\,\,w\left( x,y,z \right) \right)\) si definisce divergenza di \(\mathbf{F}\) la funzione \(div\,\mathbf{F}:\Omega \to \mathbb{R}\) così definita:

\(div\mathbf{F}\left( x,y,z \right)=\nabla \bullet \mathbf{F}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}\)

Fisicamente: la divergenza di un campo vettoriale in un punto è il flusso attraverso una superficie infinitesima che circonda il punto. Sia \(\tau \) un volume infinitesimo e \(S\) la superficie che lo circonda, si ha che la divergenza può essere espressa come

\(\nabla \bullet \mathbf{F}=\underset{\tau \to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\int_{s}{\mathbf{F}\bullet \mathbf{n}\,\,ds}}{\tau }\)

Sia \(T\subseteq {{\mathbb{R}}^{3}}\) un dominio regolare (un volume) tale che il su bordo è l’unione di un certo numero di superfici regolari:

\(\partial T={{\Sigma }_{1}}\cup …\cup {{\Sigma }_{n}}\) dove ogni \({{\Sigma }_{i}}\) è una superficie regolare. Se scegliamo su ogni \({{\Sigma }_{i}}\)una parametrizzazione tale che il versore normale punti verso l’esterno di \(T\), il flusso del campo attraverso \(\partial T\)è dato da:

\(\int_{\partial T}{\left\langle \mathbf{F},\mathbf{n} \right\rangle d\sigma }=\sum\limits_{i=1}^{n}{\int_{{{\Sigma }_{i}}}{\left\langle \mathbf{F},\mathbf{n} \right\rangle d\sigma }}\)

Tale quantità è detta FLUSSO DEL CAMPO \(\mathbf{F}\) USCENTE DA \(T\).

TEOREMA DELLA DIVERGENZA

Sia \(F:\Omega \to {{\mathbb{R}}^{3}}\) un campo di classe \({{C}^{1}}\) sull’ aperto\(\Omega \subseteq {{\mathbb{R}}^{3}}\)e sia \(T\subseteq \Omega \) un dominio regolare di \({{\mathbb{R}}^{3}}\) . Allora se \(\mathbf{n}\) è il versore normale a \(\partial T\) orientato verso l’esterno del dominio \(T\), si ha :

\(\int_{T}{div\mathbf{F}\left( x,y,z \right)dxdydz}=\int_{\partial T}{\left\langle \mathbf{F},\mathbf{n} \right\rangle d\sigma }\)

Intuitivamente partendo dalla definizione di divergenza ovvero il flusso attraverso una superficie infinitesima, se calcolo l’integrale di volume della divergenza, posso immaginare di dividere il volume in cubetti infinitesimi, calcolando il flusso attraverso ciascuna faccia dei cubetti, le facce dei cubetti interni le prendo sempre due volte e ma con verso opposto. Sommando tutti i flussi infinitesimi, rimarrà soltanto quello attraverso la superficie esterna.

GRADIENTE DI UN CAMPO VETTORIALE SU UNA SUPERFICIE

è un operatore differenziale del primo ordine che si applica ad una generica grandezza scalare ?, e genera un vettore ?? tale che:

\(\nabla \varphi \cdot \mathbf{n}=\frac{\partial \varphi }{\partial n}\) (variazione del campo spostandosi lungo la normale alla superficie)

Il gradiente di ? è quindi un vettore diretto secondo la massima variazione di ? e perpendicolare alle superfici su cui ? è costante. In coordinate cartesiane si ha che:

\(\nabla \varphi =\left( {{\varphi }_{x}},{{\varphi }_{y}},{{\varphi }_{z}} \right)\).

ROTORE di un campo vettoriale

cosa rappresenta?

\[\mathbf{rot}\,\mathbf{F}=\nabla \times \mathbf{F}\]

Data una curva chiusa \(\Gamma \) ed una superficie \(S\) ad essa appoggiata si può definire rotore del vettore \(\mathbf{F}\) come limite del rapporto tra la circuitazione di \(\mathbf{F}\) lungo \(\Gamma \)e la superficie \(S\)al tendere di \(S\)a zero. Si ha cioè:

\(\left( \nabla \times \mathbf{F} \right)\cdot \mathbf{n}=\underset{S\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\oint\limits_{\Gamma }{\mathbf{F}\cdot d\mathbf{l}}}{S}\)

TEOREMA DI STOCKES

Il flusso del vettore \(\left( \nabla \times \mathbf{F} \right)\)attraverso la superficie \(S\) è pari alla circuitazione di \(\mathbf{F}\) lungo la curva \(\Gamma \). Cioè:

\[\int\limits_{S}{\left( \nabla \times \mathbf{F} \right)\cdot \mathbf{n}dS}=\int\limits_{\Gamma }{\mathbf{F}\,d\mathbf{l}}\]

Anche in questo caso intuitivamente scomponendo la superficie in tanti quadratini infinitesimi e su ciascuno si fa la circuitazione, ogni lato viene preso due volte, tranne i lati sui bordo esterno alla superficie, che costituiscono la circuitazione lungo il bordo esterno.

Diretta conseguenza del teorema di Stockes è che Il flusso del vettore \(\left( \nabla \times \mathbf{F} \right)\)attraverso una superficie \(S\) chiusa è pari a zero:

\[\oint\limits_{S}{\left( \nabla \times \mathbf{F} \right)\cdot \mathbf{n}dS}=0\]

Da cui se ne deduce che, passando al limite, cioè volendo calcolare il flusso attraverso una superficie infinitesima si ottiene:

\(\nabla \centerdot \left( \nabla \times \mathbf{F} \right)=0\)

CAMPI SOLENOIDALI E CONSERVATIVI

CAMPO CONSERVATIVO \(\nabla \times \mathbf{F}=0\,\,\,\,\forall \mathbf{x}\in D\) ? ammette un potenziale vettore \(\varphi \) tale che \(\nabla \varphi =\mathbf{F}\)

CAMPO SOLENOIDALE

\(\nabla \centerdot \mathbf{F}=0\,\,\,\,\forall \mathbf{x}\in D\) ? ammette un potenziale scalare \(\mathbf{A}\) definito a meno di un gradiente \(\mathbf{A}={{\mathbf{A}}^{*}}+\nabla \varphi \), tale che \(\mathbf{F}=\nabla \times \mathbf{A}\)

Lezioni di Analisi Matematica 2


Autore: ing. Casparriello Marco

Lezioni di matematica e fisica a cura di Marco Casparriello.